Номер 17, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Укажите геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих определённым свойством. В данной задаче искомое свойство точки — это находиться на заданном расстоянии от заданной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и заданное расстояние $d > 0$. Необходимо найти множество всех точек $M$, для которых расстояние до прямой $a$ равно $d$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Рассмотрим любую точку $H$ на прямой $a$. Через эту точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную $a$. На этой перпендикулярной прямой существуют ровно две точки, $M_1$ и $M_2$, которые находятся на расстоянии $d$ от точки $H$. Эти точки расположены по разные стороны от прямой $a$. Расстояние от каждой из этих точек ($M_1$ и $M_2$) до прямой $a$ равно длине перпендикуляра, то есть $d$.

Если мы повторим эту процедуру для всех точек прямой $a$, то совокупность всех точек вида $M_1$ (лежащих по одну сторону от $a$) образует одну фигуру, а совокупность всех точек вида $M_2$ (лежащих по другую сторону) — другую. Докажем, что эти фигуры являются прямыми, параллельными исходной прямой $a$.

Пусть $a_1$ — это множество всех точек, находящихся на расстоянии $d$ от прямой $a$ и лежащих в одной полуплоскости относительно $a$. Пусть $P_1$ и $Q_1$ — две произвольные точки из этого множества. Опустим из них перпендикуляры $P_1P$ и $Q_1Q$ на прямую $a$. По определению, $P_1P = Q_1Q = d$ и $P_1P \perp a$, $Q_1Q \perp a$. Так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то $P_1P \parallel Q_1Q$. Рассмотрим четырехугольник $PQQ_1P_1$. В нем стороны $P_1P$ и $Q_1Q$ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм (а так как углы при основании $PQ$ прямые, то это прямоугольник). Из этого следует, что прямая $P_1Q_1$ параллельна прямой $PQ$, то есть прямой $a$. Поскольку точки $P_1$ и $Q_1$ были выбраны произвольно, всё множество точек $a_1$ лежит на прямой, параллельной $a$.

Аналогичные рассуждения применимы и для множества точек $a_2$, расположенных в другой полуплоскости. Это множество также образует прямую, параллельную $a$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, параллельных данной и расположенных на заданном расстоянии от нее в разных полуплоскостях.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по разные стороны от нее на данном расстоянии.