Номер 13, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB$ и $AD$, причем $AB \neq AD$. Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$, биссектрисы углов $A$ и $B$ — в точке $N$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $P$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $K$. Нам нужно доказать, что четырехугольник $MNPK$ — прямоугольник.

Для доказательства того, что $MNPK$ является прямоугольником, достаточно показать, что все его углы равны $90^\circ$.

1. Найдем угол $N$ четырехугольника $MNPK$.
Рассмотрим треугольник $ANB$. Точка $N$ является точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ параллелограмма. По определению биссектрисы, $\angle NAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle NBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ANB$ равна $180^\circ$. Выразим угол $ANB$:
$\angle ANB = 180^\circ - (\angle NAB + \angle NBA)$
$\angle ANB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
Подставим значение суммы углов $A$ и $B$:
$\angle ANB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $MNP$ четырехугольника $MNPK$ совпадает с углом $ANB$, так как точки $M, N$ лежат на одной биссектрисе, а точки $P, N$ на другой. Таким образом, $\angle MNP = 90^\circ$.

2. Найдем остальные углы четырехугольника $MNPK$.
Доказательство для остальных углов аналогично.

• Рассмотрим $\triangle BPC$ (точка $P$ — пересечение биссектрис $\angle B$ и $\angle C$). Поскольку $\angle B + \angle C = 180^\circ$, то угол $\angle BPC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle NPK = 90^\circ$.
• Рассмотрим $\triangle CKD$ (точка $K$ — пересечение биссектрис $\angle C$ и $\angle D$). Поскольку $\angle C + \angle D = 180^\circ$, то угол $\angle CKD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle PKM = 90^\circ$.
• Рассмотрим $\triangle AMD$ (точка $M$ — пересечение биссектрис $\angle A$ и $\angle D$). Поскольку $\angle A + \angle D = 180^\circ$, то угол $\angle AMD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle KMN = 90^\circ$.

Таким образом, все четыре угла четырехугольника $MNPK$ равны $90^\circ$.

Условие о неравенстве соседних сторон необходимо, так как если бы соседние стороны были равны, параллелограмм был бы ромбом. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, и все четыре биссектрисы пересеклись бы в одной точке, не образуя четырехугольника.

Ответ: Мы доказали, что все углы четырехугольника, образованного пересечением биссектрис углов параллелограмма, являются прямыми. Четырехугольник, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.