Номер 9, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен $120^\circ$. Чему при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали?

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке O. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим длину диагонали как $d$. Тогда половина каждой диагонали будет равна $d/2$.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим два из них, имеющих общую вершину в точке O. Эти треугольники являются равнобедренными, так как их боковые стороны — это половины диагоналей, то есть они равны $d/2$.

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара — острые углы, другая — тупые. По условию, тупой угол равен $120^\circ$. Пусть это будет угол между половинами диагоналей, противолежащий большей стороне прямоугольника.

Соответственно, острый угол между диагоналями будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Этот угол будет противолежать меньшей стороне прямоугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника (обозначим ее $a$) и двумя половинами диагоналей. Этот треугольник равнобедренный, и угол между равными сторонами (половинами диагоналей) равен $60^\circ$.

Найдем углы при основании этого треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:$(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в этом треугольнике равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника $a$ равна половине диагонали $d/2$:

$a = d/2$

Теперь найдем отношение меньшей стороны к диагонали:

$\frac{a}{d} = \frac{d/2}{d} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$