Номер 2, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Верно ли утверждение о том, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником?

Нет, данное утверждение неверно.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример — построить четырехугольник, который удовлетворяет заданным условиям (один прямой угол и равные диагонали), но при этом не является прямоугольником.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в декартовой системе координат.
1. Пусть вершина $B$ находится в начале координат, $B(0, 0)$. Чтобы угол $\angle ABC$ был прямым, разместим вершину $A$ на оси ординат (OY), а вершину $C$ — на оси абсцисс (OX). Возьмем для определенности точки $A(0, 3)$ и $C(4, 0)$. В этом случае угол $\angle ABC$ образован положительными полуосями координат и равен $90^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $AC$. По формуле расстояния между точками (или по теореме Пифагора для треугольника $ABC$):
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

3. Согласно условию задачи, диагонали четырехугольника должны быть равны, то есть $BD = AC = 5$. Пусть координаты четвертой вершины $D$ будут $(x, y)$. Тогда длина диагонали $BD$ вычисляется как:
$BD = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

4. Приравнивая длины диагоналей, получаем уравнение:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 25$.
Это уравнение окружности с центром в точке $B(0,0)$ и радиусом 5. Это означает, что любая точка на этой окружности может быть выбрана в качестве вершины $D$.

5. Если бы четырехугольник $ABCD$ был прямоугольником, то его четвертая вершина $D$ должна была бы иметь координаты $(4, 3)$. Проверим, лежит ли эта точка на нашей окружности: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Условие выполняется, так что прямоугольник является одним из возможных четырехугольников, удовлетворяющих условию.

6. Однако мы можем выбрать любую другую точку на окружности $x^2 + y^2 = 25$. Например, выберем точку $D$ с координатами $(-3, 4)$. Эта точка также лежит на окружности, так как $(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

7. Теперь рассмотрим четырехугольник, образованный вершинами $A(0, 3)$, $B(0, 0)$, $C(4, 0)$ и $D(-3, 4)$.
Проверим, выполняются ли для него условия задачи:
• Один угол прямой: $\angle ABC = 90^\circ$ по нашему построению.
• Диагонали равны: $AC = 5$ и $BD = 5$ по нашему построению.
Оба условия выполнены.

8. Теперь проверим, является ли этот четырехугольник прямоугольником. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому его противоположные стороны должны быть параллельны. Проверим параллельность сторон $AB$ и $DC$ с помощью векторов.
$\vec{AB} = (0-0, 0-3) = (0, -3)$.
$\vec{DC} = (4-(-3), 0-4) = (7, -4)$.
Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ не коллинеарны (их координаты не пропорциональны), то стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ не является даже параллелограммом, он не может быть прямоугольником. Мы построили контрпример, который доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, утверждение неверно.