Номер 12, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Укажите способ построения прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

Для построения прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, с помощью циркуля и линейки без делений, выполняется следующий алгоритм. Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не принадлежащая прямой $l$.

1. Провести через точку $P$ произвольную прямую (называемую секущей), которая пересекает прямую $l$ в некоторой точке $Q$.

2. Построить угол с вершиной в точке $P$, который будет равен углу, образованному секущей и прямой $l$ в точке $Q$. Этот шаг выполняется для того, чтобы создать равные соответственные или накрест лежащие углы, что является признаком параллельности прямых. Процесс копирования угла выглядит так:
а) Установить ножку циркуля в точку $Q$ и начертить дугу произвольного радиуса $r$ так, чтобы она пересекла прямую $l$ (например, в точке $A$) и секущую (например, в точке $B$).
б) Не меняя радиус циркуля ($r$), установить его ножку в точку $P$ и начертить аналогичную дугу, которая пересечет секущую в точке $C$. Эта дуга должна располагаться так, чтобы можно было построить соответственный или накрест лежащий угол.
в) Измерить циркулем расстояние между точками $A$ и $B$.
г) Установить ножку циркуля в точку $C$ и начертить дугу с радиусом, равным расстоянию $AB$. Точку пересечения этой дуги с дугой, построенной в шаге (б), обозначить как $D$.

3. С помощью линейки провести прямую $m$ через точки $P$ и $D$.

Прямая $m$ является искомой. Она проходит через данную точку $P$ и параллельна данной прямой $l$. Это следует из признака параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны (в нашем случае мы построили $\angle DPC = \angle AQB$), то прямые параллельны.

Ответ: Чтобы построить прямую, параллельную данной прямой $l$ и проходящую через данную точку $P$, необходимо: 1) провести через точку $P$ произвольную секущую, пересекающую прямую $l$ в точке $Q$; 2) используя циркуль и линейку, построить в точке $P$ угол, равный и соответственный (или накрест лежащий) углу, образованному секущей и прямой $l$; 3) прямая, проходящая через точку $P$ и образующая построенный угол с секущей, и будет искомой параллельной прямой.