Номер 9, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В параллелограмме $ABCD$ (рис. 5.9) биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекают диагональ $AC$ в точках $E$ и $F$, которые соединены соответственно с вершинами параллелограмма $B$ и $D$. Докажите, что четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом.

Рис. 5.9

Для доказательства того, что четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагоналями четырехугольника $BEDF$ являются отрезки $BD$ и $EF$.

Пусть диагонали исходного параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, точка $O$ является серединой его диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$.

1. Сторона $AD$ равна стороне $CB$, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма $ABCD$.

2. Угол $\angle DAF$ равен углу $\angle BCE$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

3. Противоположные углы параллелограмма $ABCD$ равны, то есть $\angle ADC = \angle ABC$. По условию, $DF$ и $BE$ являются биссектрисами этих углов. Следовательно, $\angle ADF = \frac{1}{2}\angle ADC$ и $\angle CBE = \frac{1}{2}\angle ABC$. Отсюда получаем, что $\angle ADF = \angle CBE$.

Таким образом, треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AF = CE$.

Теперь необходимо доказать, что точка $O$ является серединой диагонали $EF$. Мы уже знаем, что точка $O$ — середина диагонали $AC$, а значит $AO = OC$.

Длину отрезка $OF$ можно найти как разность длин отрезков $AO$ и $AF$ (при условии, что точка $F$ лежит на отрезке $AO$). Длину отрезка $OE$ можно найти как разность длин отрезков $OC$ и $CE$ (при условии, что точка $E$ лежит на отрезке $OC$).

Используя равенства $AO = OC$ и $AF = CE$, получаем: $OF = AO - AF = OC - CE = OE$.

Равенство $OF = OE$ означает, что точка $O$ является серединой отрезка $EF$.

Итак, мы установили, что диагонали четырехугольника $BEDF$ (отрезки $BD$ и $EF$) пересекаются в точке $O$, и эта точка является серединой каждой из них ($BO=OD$ и $FO=OE$).

Следовательно, четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом.