Номер 5, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Является ли равенство двух противоположных углов четырехугольника признаком параллелограмма?

б. Нет, равенство только одной пары противолежащих углов четырехугольника не является достаточным признаком параллелограмма.

Один из признаков параллелограмма гласит, что четырехугольник является параллелограммом, если у него попарно равны противолежащие углы. Это означает, что для четырехугольника $ABCD$ должны выполняться два равенства: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Если же выполняется только одно из этих равенств, то четырехугольник не обязательно будет параллелограммом.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — четырехугольник, у которого равна только одна пара противолежащих углов, но который не является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Сумма его углов составляет $360^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Пусть у нашего четырехугольника одна пара противолежащих углов равна, например, $\angle B = \angle D = 70^\circ$.

Тогда сумма двух других углов будет:

$\angle A + \angle C = 360^\circ - (\angle B + \angle D) = 360^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$

Если бы четырехугольник был параллелограммом, то должно было бы выполняться условие $\angle A = \angle C$. В этом случае каждый из этих углов был бы равен $220^\circ / 2 = 110^\circ$.

Однако мы можем выбрать любые значения для $\angle A$ и $\angle C$, лишь бы их сумма была равна $220^\circ$. Например, выберем $\angle A = 100^\circ$ и $\angle C = 120^\circ$.

Таким образом, мы получили четырехугольник со следующими углами: $\angle A = 100^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 70^\circ$. В этом четырехугольнике $\angle B = \angle D$, но $\angle A \neq \angle C$. Так как вторая пара противолежащих углов не равна, этот четырехугольник не является параллелограммом.

Ответ: Нет, не является.