Номер 20, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Изобразите четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Изобразите четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

Чтобы изобразить такой четырехугольник, назовем его ABCD, нужно выполнить следующие шаги:
1. Начертить на плоскости произвольный отрезок AB.
2. Выбрать любую точку C, не лежащую на прямой AB.
3. Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.
4. На этой параллельной прямой отложить от точки C отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AB. Направление отрезка CD должно быть таким же, как у AB (если мысленно представить векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, они должны быть сонаправлены).
5. Соединить точки A и D.
Полученный четырехугольник ABCD и будет искомым, так как по построению его стороны BC и AD равны и параллельны (или AB и CD, в зависимости от обозначения вершин). Визуально такая фигура будет выглядеть как параллелограмм.

Ответ: Построение четырехугольника описано выше. В результате построения всегда получается параллелограмм.

Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Да, такой четырехугольник всегда будет параллелограммом. Это один из основных признаков параллелограмма. Докажем это утверждение.

Теорема (признак параллелограмма): Если в выпуклом четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано:
ABCD — четырехугольник.
$AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать:
ABCD — параллелограмм.

Доказательство:
1. Проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
2. Рассмотрим эти треугольники:
• $AB = CD$ по условию задачи.
• $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.
• Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$ ($\angle BAC = \angle DCA$), так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
3. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ ($\triangle ABC = \triangle CDA$) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Значит, угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$ ($\angle BCA = \angle DAC$).
5. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$) по признаку параллельности двух прямых.
6. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному).
7. Согласно определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Да, такой четырехугольник будет являться параллелограммом.