Номер 16, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Существует ли параллелограмм, в котором две стороны и одна диагональ соответственно равны:

а) 5 см, 2 см, 2 см;

б) 7 см, 4 см, 11 см;

в) 2 см, 3 см, 4 см;

г) 3 см, 8 см, 10 см?

Для того чтобы определить, может ли существовать параллелограмм с заданными сторонами и диагональю, нужно использовать ключевое свойство геометрии — неравенство треугольника. Любая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Сторонами каждого такого треугольника являются две смежные стороны параллелограмма и сама диагональ. Пусть длины смежных сторон параллелограмма равны $a$ и $b$, а длина диагонали — $d$.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Чтобы треугольник со сторонами $a, b, d$ существовал, должны одновременно выполняться три условия:

$a + b > d$

$a + d > b$

$b + d > a$

Если все три неравенства верны, то такой треугольник может существовать, а значит, может существовать и соответствующий параллелограмм. Проверим это для каждого из предложенных случаев.

а) Даны стороны 5 см, 2 см и диагональ 2 см.

Пусть $a = 5$ см, $b = 2$ см, $d = 2$ см. Мы должны проверить, может ли существовать треугольник со сторонами 5, 2 и 2. Применим неравенство треугольника. Достаточно проверить, будет ли сумма двух меньших сторон больше третьей, самой большой, стороны: $2 + 2 > 5$.

Выполняем сложение: $4 > 5$. Данное неравенство является ложным. Так как одно из условий не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет, такой параллелограмм не существует.

б) Даны стороны 7 см, 4 см и диагональ 11 см.

Пусть $a = 7$ см, $b = 4$ см, $d = 11$ см. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 7, 4 и 11. Проверим условие $a + b > d$.

Подставим значения: $7 + 4 > 11$. Получаем $11 > 11$. Это неравенство ложно, поскольку 11 не больше 11 (они равны). В этом случае точки, являющиеся вершинами «треугольника», лежали бы на одной прямой. Такой треугольник называется вырожденным и не может быть частью параллелограмма.

Ответ: нет, такой параллелограмм не существует.

в) Даны стороны 2 см, 3 см и диагональ 4 см.

Пусть $a = 2$ см, $b = 3$ см, $d = 4$ см. Проверим все три неравенства для треугольника со сторонами 2, 3 и 4:

1. $2 + 3 > 4$, что дает $5 > 4$ (верно).

2. $2 + 4 > 3$, что дает $6 > 3$ (верно).

3. $3 + 4 > 2$, что дает $7 > 2$ (верно).

Все три условия выполняются. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует, а значит, и параллелограмм может быть построен.

Ответ: да, такой параллелограмм существует.

г) Даны стороны 3 см, 8 см и диагональ 10 см.

Пусть $a = 3$ см, $b = 8$ см, $d = 10$ см. Проверим все три неравенства для треугольника со сторонами 3, 8 и 10:

1. $3 + 8 > 10$, что дает $11 > 10$ (верно).

2. $3 + 10 > 8$, что дает $13 > 8$ (верно).

3. $8 + 10 > 3$, что дает $18 > 3$ (верно).

Все три условия выполняются. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует, а значит, существует и искомый параллелограмм.

Ответ: да, такой параллелограмм существует.