Номер 11, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Острый угол параллелограмма $ABCD$ равен $60^\circ$ (рис. 4.6), $DG$ и $DH$ — высоты. Найдите углы образовавшегося четырехугольника $BHDG$.

Рис. 4.6

По условию, ABCD — параллелограмм, и его острый угол равен 60°. Пусть $∠A = 60°$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Найдем тупой угол $∠B$: $∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.

Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $∠C = ∠A = 60°$ и $∠D = ∠B = 120°$.

Теперь рассмотрим образовавшийся четырехугольник BHDG и найдем его углы.

Угол $∠HBG$

Этот угол совпадает с углом $∠B$ параллелограмма, поэтому $∠HBG = 120°$.

Углы $∠DHB$ и $∠DGB$

По условию, DG и DH — высоты. Это означает, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены:

$DG ⊥ AB$, следовательно, угол $∠DGB = 90°$.

$DH ⊥ BC$, следовательно, угол $∠DHB = 90°$.

Угол $∠GDH$

Сумма углов любого четырехугольника равна 360°. Для четырехугольника BHDG мы уже знаем три угла, поэтому можем найти четвертый: $∠GDH = 360° - (∠HBG + ∠DHB + ∠DGB)$ $∠GDH = 360° - (120° + 90° + 90°) = 360° - 300° = 60°$.

Другой способ нахождения угла $∠GDH$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ADG$ (угол $∠AGD = 90°$). Сумма острых углов в нем равна 90°. Так как $∠A = 60°$, то $∠ADG = 90° - 60° = 30°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $△CDH$ (угол $∠CHD = 90°$). Так как $∠C = 60°$, то $∠CDH = 90° - 60° = 30°$.
Угол $∠D$ параллелограмма равен 120° и складывается из трех углов: $∠ADC = ∠ADG + ∠GDH + ∠CDH$.
Отсюда $∠GDH = ∠ADC - ∠ADG - ∠CDH = 120° - 30° - 30° = 60°$.

Ответ: углы четырехугольника BHDG равны $120°, 90°, 60°, 90°$.