Номер 8, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

а) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

Воспользуемся свойствами углов параллелограмма:
1. Противолежащие углы равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

В задаче дана сумма двух углов. Рассмотрим два возможных случая:
1. Это сумма двух прилежащих углов. В этом случае их сумма должна быть равна $180^\circ$.
2. Это сумма двух противолежащих углов. Так как противолежащие углы равны, то это сумма двух одинаковых углов.

Во всех трех пунктах задачи сумма не равна $180^\circ$, следовательно, речь идет о сумме двух равных противолежащих углов. Пусть один из этих углов равен $\alpha$, а смежный с ним угол равен $\beta$. Тогда углы параллелограмма — это $\alpha, \beta, \alpha, \beta$, и для них выполняется соотношение $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а)

Сумма двух углов равна $80^\circ$. Согласно нашему выводу, это сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 80^\circ$

$2\alpha = 80^\circ$

$\alpha = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

Таким образом, два противолежащих угла параллелограмма равны по $40^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Итак, два других угла равны по $140^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б)

Сумма двух углов равна $100^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 100^\circ$

$2\alpha = 100^\circ$

$\alpha = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$

Два угла параллелограмма равны по $50^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Два других угла равны по $130^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

в)

Сумма двух углов равна $160^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 160^\circ$

$2\alpha = 160^\circ$

$\alpha = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

Два угла параллелограмма равны по $80^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Два других угла равны по $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.