Номер 9, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите углы параллелограмма, если один из его углов:

а) больше другого на $40^\circ$;

б) меньше другого в 5 раз.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:
1. Противоположные углы параллелограмма равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Из этих свойств следует, что если в условии говорится о двух разных углах, то речь идет о соседних углах. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Их сумма всегда составляет $180^\circ$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

а) По условию, один угол больше другого на $40^\circ$. Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним, больший угол, будет равен $x + 40^\circ$.

Зная, что сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, составим и решим уравнение:
$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$
$2x + 40^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 40^\circ$
$2x = 140^\circ$
$x = \frac{140^\circ}{2}$
$x = 70^\circ$

Итак, один угол равен $70^\circ$. Второй угол равен $x + 40^\circ = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то в нем есть два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$.

б) По условию, один угол меньше другого в 5 раз. Пусть меньший угол равен $y$. Тогда смежный с ним, больший угол, будет в 5 раз больше, то есть $5y$.

Сумма этих углов также равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$y + 5y = 180^\circ$
$6y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{6}$
$y = 30^\circ$

Итак, один угол равен $30^\circ$. Второй угол равен $5y = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

В параллелограмме два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.