Номер 14, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Каково взаимное расположение биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Выберем одну из его сторон, например, сторону $AD$. Углы, прилежащие к этой стороне, — это $\angle A$ (или $\angle DAB$) и $\angle D$ (или $\angle ADC$).

Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это происходит потому, что эти углы являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых ($AB \parallel DC$) и секущей $AD$.
Следовательно, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы этих углов. Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$. Точка $K$ — точка их пересечения.

По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Значит:
$\angle DAK = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle ADK = \frac{1}{2}\angle D$

Рассмотрим треугольник, образованный этими биссектрисами и стороной параллелограмма, — $\triangle ADK$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ADK$ это записывается так:
$\angle DAK + \angle ADK + \angle AKD = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение выражения для углов $\angle DAK$ и $\angle ADK$:
$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AKD = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\frac{1}{2}(\angle A + \angle D) + \angle AKD = 180^\circ$

Так как мы уже установили, что $\angle A + \angle D = 180^\circ$, подставим это значение в наше уравнение:
$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle AKD = 180^\circ$
$90^\circ + \angle AKD = 180^\circ$

Из этого уравнения легко найти угол $\angle AKD$, который является углом между биссектрисами:
$\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равен $90^\circ$. Это означает, что они взаимно перпендикулярны.

Ответ: Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).