Номер 18, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от этого параллелограмма равнобедренный треугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведём биссектрису $AK$ угла $A$. Предположим, что точка $K$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $BC$. В результате от параллелограмма отсекается треугольник $ABK$. Нам нужно доказать, что треугольник $ABK$ является равнобедренным.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).

2. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AK$. Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, следовательно, $\angle DAK = \angle BKA$.

3. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Следовательно, $\angle DAK = \angle BAK$.

4. Из двух предыдущих пунктов мы имеем два равенства: $\angle DAK = \angle BKA$ и $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle BKA = \angle BAK$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы установили, что два его угла, $\angle BKA$ и $\angle BAK$, равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. В треугольнике $ABK$ напротив угла $\angle BKA$ лежит сторона $AB$, а напротив угла $\angle BAK$ лежит сторона $BK$. Таким образом, $AB = BK$.

Поскольку треугольник $ABK$ имеет две равные стороны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойствах параллельных прямых и определении биссектрисы. Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AK$ угла $A$ ($K$ лежит на $BC$). Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. По определению биссектрисы, $\angle DAK = \angle BAK$. Следовательно, $\angle BKA = \angle BAK$. В треугольнике $ABK$ два угла равны, значит, он равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.