Номер 15, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Каково взаимное расположение биссектрис углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором по условию смежные стороны не равны ($AB \neq BC$). В любом параллелограмме противолежащие стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), а противолежащие углы равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).

Рассмотрим пару противолежащих углов, например, $\angle A$ и $\angle C$, и их биссектрисы. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$, а $l_C$ — биссектриса угла $\angle C$. Докажем, что эти биссектрисы параллельны, то есть $l_A \parallel l_C$.

Проведём диагональ $AC$. Поскольку $AD \parallel BC$, диагональ $AC$ является секущей, и накрест лежащие углы равны. Обозначим $\angle DAC = \angle BCA = \beta$.

Поскольку $\angle A = \angle C$, обозначим величину этих углов как $2\alpha$. Так как $l_A$ и $l_C$ — биссектрисы, они делят свои углы пополам. То есть, угол между стороной $AD$ и биссектрисой $l_A$ равен $\alpha$. Аналогично, угол между стороной $BC$ и биссектрисой $l_C$ равен $\alpha$.

Теперь найдём углы, которые биссектрисы $l_A$ и $l_C$ образуют с диагональю $AC$. Эти углы являются накрест лежащими для прямых $l_A$, $l_C$ и секущей $AC$. Угол между биссектрисой $l_A$ и диагональю $AC$ равен $|\alpha - \beta|$. Угол между биссектрисой $l_C$ и диагональю $AC$ также равен $|\alpha - \beta|$.

Поскольку величины накрест лежащих углов, образованных прямыми $l_A$ и $l_C$ при пересечении их секущей $AC$, равны, то прямые $l_A$ и $l_C$ параллельны.

Эти биссектрисы не могут совпадать. Если бы биссектрисы совпадали, они бы лежали на одной прямой, проходящей через вершины $A$ и $C$, то есть совпадали бы с диагональю $AC$. Диагональ является биссектрисой угла параллелограмма только в том случае, если этот параллелограмм является ромбом (то есть у него равны смежные стороны). Однако по условию задачи смежные стороны параллелограмма не равны, значит, он не является ромбом. Следовательно, биссектрисы не совпадают и являются двумя различными параллельными прямыми.

Аналогично доказывается, что биссектрисы другой пары противолежащих углов, $\angle B$ и $\angle D$, также параллельны друг другу.

Ответ: Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами) параллельны друг другу.