Номер 19, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Постройте параллелограмм по:

а) двум сторонам и диагонали;

б) стороне и двум диагоналям.

а) двум сторонам и диагонали

Пусть даны отрезки $a$ и $b$ - длины двух смежных сторон параллелограмма, и отрезок $d$ - длина его диагонали, соединяющей вершины между этими сторонами. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Это свойство мы и используем для построения.

Алгоритм построения:

1. Строим треугольник $ABC$ по трем сторонам: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = d$. Для этого начертим прямую, отметим на ней точку $A$. С помощью циркуля отложим от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $a$. Затем из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $d$, а из точки $B$ - дугу радиусом $b$. Точка пересечения этих дуг даст нам вершину $C$. Соединим точки, получив треугольник $ABC$. (Построение возможно, если длины отрезков удовлетворяют неравенству треугольника: $a+b>d$, $a+d>b$ и $b+d>a$).

2. Теперь необходимо найти четвертую вершину $D$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому сторона $AD$ должна быть равна стороне $BC$ (то есть $b$), а сторона $CD$ должна быть равна стороне $AB$ (то есть $a$).

3. Из вершины $C$ проводим дугу окружности радиусом $a$. Из вершины $A$ проводим дугу окружности радиусом $b$. Точка пересечения этих дуг, лежащая с другой стороны от диагонали $AC$ нежели точка $B$, будет искомой вершиной $D$.

4. Соединим отрезками вершины $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, его противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD=a$ и $BC=AD=b$), следовательно, это параллелограмм. Его стороны равны $a$ и $b$, а одна из диагоналей равна $d$.

Ответ: Построение заключается в построении треугольника по трем заданным отрезкам (две стороны и диагональ), а затем построении второго, равного ему, треугольника с общей стороной (диагональю).

б) стороне и двум диагоналям

Пусть даны отрезок $a$ - длина стороны, и отрезки $d_1$ и $d_2$ - длины двух диагоналей. Воспользуемся ключевым свойством параллелограмма: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть искомый параллелограмм - $ABCD$, его сторона $AB=a$, диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$, а точка их пересечения - $O$. Тогда в треугольнике $AOB$ стороны будут равны $AB=a$, $AO = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = \frac{1}{2}d_2$. Построение этого треугольника является основой решения задачи.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезки, задающие диагонали $d_1$ и $d_2$, пополам. Получим отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

2. Построим треугольник $AOB$ по трем сторонам: $AB=a$, $AO=\frac{d_1}{2}$ и $BO=\frac{d_2}{2}$. Для этого отложим отрезок $AB$ длиной $a$. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $\frac{d_1}{2}$, а из точки $B$ - дугу окружности радиусом $\frac{d_2}{2}$. Точка их пересечения будет точкой $O$ - центром параллелограмма. (Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} > a$, то есть $d_1+d_2 > 2a$).

3. Теперь найдем недостающие вершины $C$ и $D$. Для этого продолжим отрезки $AO$ и $BO$ за точку $O$.

4. На луче $AO$ отложим от точки $O$ отрезок $OC$, равный $AO$. Получим вершину $C$.

5. На луче $BO$ отложим от точки $O$ отрезок $OD$, равный $BO$. Получим вершину $D$.

6. Соединим точки $A, B, C, D$ последовательно отрезками.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, его диагонали $AC = AO+OC = 2 \cdot AO = d_1$ и $BD = BO+OD = 2 \cdot BO = d_2$ пересекаются и делятся точкой $O$ пополам, что является достаточным признаком параллелограмма. При этом одна из его сторон $AB$ равна $a$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$.

Ответ: Построение основано на свойстве диагоналей параллелограмма делиться точкой пересечения пополам, что позволяет сначала построить треугольник, образованный заданной стороной и половинами диагоналей, а затем достроить его до полного параллелограмма путем удвоения отрезков от вершин до точки пересечения диагоналей.