Номер 4, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 5.6) отложены две пары равных отрезков: $BE = DG$ и $BF = DH$. Будет ли четырехугольник $EFGH$ параллелограммом? Почему?

Рис. 5.6

Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.

Почему?

Для доказательства этого утверждения воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Докажем, что $EF = GH$ и $EH = FG$.

1. Рассмотрим треугольники $ΔEBF$ и $ΔGDH$.
По условию дано, что $ABCD$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Следовательно, $∠B = ∠D$.
Также по условию задачи нам даны равенства отрезков:
- $BE = DG$
- $BF = DH$
Таким образом, треугольники $ΔEBF$ и $ΔGDH$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, значит, $EF = GH$.

2. Рассмотрим треугольники $ΔHAE$ и $ΔFCG$.
По свойству параллелограмма $ABCD$, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), а противолежащие углы равны ($∠A = ∠C$).
Найдем длины сторон $AE$ и $CG$.
$AE = AB - BE$
$CG = CD - DG$
Поскольку $AB = CD$ и $BE = DG$ (по условию), то $AE = CG$.
Теперь найдем длины сторон $AH$ и $CF$.
$AH = AD - DH$
$CF = BC - BF$
Поскольку $AD = BC$ и $DH = BF$ (по условию), то $AH = CF$.
Таким образом, треугольники $ΔHAE$ и $ΔFCG$ равны по двум сторонам ($AE = CG$ и $AH = CF$) и углу между ними ($∠A = ∠C$).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, значит, $EH = FG$.

Итак, мы доказали, что в четырехугольнике $EFGH$ противолежащие стороны попарно равны: $EF = GH$ и $EH = FG$. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $EFGH$ является параллелограммом.

Ответ: Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.