Номер 11, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Постройте параллелограмм по:

а) двум сторонам и углу между ними;

б) стороне, углу и диагонали;

в) * стороне, перпендикуляру, опущенному на нее из вершины, и пересекающей его диагонали.

а) двум сторонам и углу между ними

Пусть нам даны два отрезка, равные сторонам параллелограмма $a$ и $b$, и угол $\alpha$, равный углу между этими сторонами. Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB = a$, сторона $AD = b$ и угол $\angle DAB = \alpha$.

Анализ:
Параллелограмм однозначно определяется двумя смежными сторонами и углом между ними. Мы можем построить треугольник $ABD$ по двум сторонам $AB$ и $AD$ и углу между ними $\angle DAB$. Четвертая вершина $C$ находится на пересечении прямых, параллельных сторонам $AB$ и $AD$ и проходящих через вершины $D$ и $B$ соответственно. Также ее можно найти, зная, что противолежащие стороны параллелограмма равны ($BC=AD=b$, $DC=AB=a$).

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
3. От луча $AB$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AM$.
4. На луче $AM$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный данной стороне $b$.
5. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
6. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$.
7. Точка пересечения этих двух окружностей (в той же полуплоскости) будет четвертой вершиной параллелограмма — точкой $C$.
8. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство:
В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ и угол $\angle DAB$ равны заданным $a$, $b$ и $\alpha$ по построению. Кроме того, по построению $DC=a$ и $BC=b$. Так как в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC=a$, $AD=BC=b$), то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.

б) стороне, углу и диагонали

Эта задача может иметь несколько трактовок в зависимости от того, как расположены данные элементы. Рассмотрим наиболее распространенный случай: даны сторона $a$, прилежащий к ней угол $\alpha$ и диагональ $d$, выходящая из другой вершины данной стороны.

Пусть требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB=a$, угол $\angle DAB = \alpha$ и диагональ $BD = d$.

Анализ:
Три вершины параллелограмма $A, B, D$ образуют треугольник $ABD$. В этом треугольнике известны две стороны ($AB=a$, $BD=d$) и угол, противолежащий одной из них ($\angle DAB = \alpha$). Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (SSA). Построив треугольник $ABD$, мы найдем три вершины, а четвертую вершину $C$ можно легко достроить.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $AB$ построим луч $AM$ так, чтобы $\angle BAM = \alpha$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной диагонали $d$.
4. Точка пересечения окружности и луча $AM$ является третьей вершиной — точкой $D$. (Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от числа точек пересечения).
5. Теперь, имея три вершины $A$, $B$, $D$, достроим параллелограмм. Для этого проведем через точку $D$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AD$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
6. Соединим отрезками вершины. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство:
По построению в четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB=a$, $\angle DAB = \alpha$. Диагональ $BD$ равна $d$ по построению. Так как $BC \parallel AD$ и $DC \parallel AB$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.

в) * стороне, перпендикуляру, опущенному на нее из вершины, и пересекающей его диагонали

Рассмотрим следующую трактовку задачи: даны сторона $s$, высота $h$, проведенная к этой стороне, и диагональ $d$, выходящая из той же вершины, из которой проведена высота.

Пусть требуется построить параллелограмм $ABCD$ со стороной $AD=s$, высотой $BH=h$ (где $H$ — основание перпендикуляра из $B$ на прямую $AD$) и диагональю $BD=d$.

Анализ:
Вершины $B, H, D$ образуют прямоугольный треугольник $BHD$, в котором катет $BH$ равен высоте $h$, а гипотенуза $BD$ равна диагонали $d$. Мы можем построить этот треугольник. После этого мы найдем вершины $B$ и $D$, а также прямую, на которой лежит сторона $AD$. Вершина $A$ лежит на этой прямой на расстоянии $s$ от вершины $D$. Имея три вершины $A, B, D$, можно достроить параллелограмм.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $H$.
2. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $HB = h$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $d$.
4. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $D$. (Для существования решения необходимо, чтобы $d \ge h$).
5. Теперь у нас есть вершины $B$ и $D$, и прямая $l$, на которой лежит сторона $AD$.
6. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $s$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$. (Возможны два решения, выберем одно).
7. Имея вершины $A, B, D$, построим четвертую вершину $C$. Для этого отложим от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AD}$, или от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$. Получим точку $C$.
8. Соединим вершины. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство:
По построению, $ABCD$ является параллелограммом. Длина стороны $AD$ равна $s$. Длина диагонали $BD$ равна $d$. Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AD$ (прямую $l$), есть отрезок $BH$, длина которого равна $h$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.