Номер 3, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. По свойству прямоугольника, его диагонали равны (AC = BD) и точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC = BO = OD$).

Следовательно, диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. По условию, острый угол между диагоналями равен $50^\circ$. Пусть это будет угол при вершине O в треугольнике $\triangle AOB$, то есть $\angle AOB = 50^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором $AO = BO$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для $\triangle AOB$ имеем:

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

Так как $\angle OAB = \angle OBA$, можно записать:

$2 \cdot \angle OAB + 50^\circ = 180^\circ$

Отсюда найдем угол $\angle OAB$:

$2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 130^\circ$

$\angle OAB = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$

Угол $\angle OAB$ (или $\angle CAB$) — это один из углов, который диагональ AC образует со стороной AB. Он равен $65^\circ$.

Все углы прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ делит прямой угол на два меньших угла. Например, диагональ AC делит угол $\angle DAB = 90^\circ$ на два угла: $\angle CAB$ и $\angle CAD$. Мы уже нашли, что $\angle CAB = 65^\circ$. Найдем второй угол:

$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы двух разных величин.

Ответ: $25^\circ$ и $65^\circ$.