Номер 6, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Изобразите какой-нибудь прямоугольник $ABCD$, диагональ $AC$ которого показана на рисунке 6.6.

a)

б)

Рис. 6.6

а)

Для построения прямоугольника $ABCD$ по его диагонали $AC$ необходимо найти положения вершин $B$ и $D$. Основное свойство прямоугольника — все его углы прямые. В частности, углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ должны быть равны $90^\circ$. Геометрически это означает, что вершины $B$ и $D$ должны лежать на окружности, диаметром которой является отрезок $AC$.

Существует бесконечное множество прямоугольников с заданной диагональю. Мы построим самый простой для изображения на клетчатой бумаге — тот, у которого стороны параллельны линиям сетки.

Проанализируем взаимное расположение точек $A$ и $C$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Длины проекций диагонали на горизонтальную и вертикальную оси равны 3 и 2 клеткам соответственно. Эти длины и будут длинами сторон искомого прямоугольника.

Чтобы найти вершины $B$ и $D$, можно поступить следующим образом. Вершина $B$ должна находиться на той же вертикальной линии, что и вершина $A$, и на той же горизонтальной линии, что и вершина $C$. Вершина $D$, наоборот, должна находиться на той же горизонтальной линии, что и $A$, и на той же вертикальной, что и $C$. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим прямоугольник со сторонами, параллельными линиям сетки.

Ответ: Искомый прямоугольник $ABCD$ можно построить так, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки. Вершина $B$ находится на пересечении вертикальной линии, проходящей через $A$, и горизонтальной линии, проходящей через $C$. Вершина $D$ находится на пересечении горизонтальной линии, проходящей через $A$, и вертикальной линии, проходящей через $C$.

б)

В этом случае диагональ $AC$ является горизонтальным отрезком длиной в 4 клетки. Диагонали прямоугольника равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим середину диагонали $AC$ буквой $M$. Эта точка находится на расстоянии 2 клеток как от $A$, так и от $C$.

Вторая диагональ $BD$ также должна проходить через точку $M$, и ее длина должна быть равна 4 клеткам. Это означает, что точки $B$ и $D$ должны быть удалены от точки $M$ на расстояние 2 клетки и лежать на одной прямой, проходящей через $M$.

Заметим, что в данном случае прямоугольник со сторонами, параллельными линиям сетки, построить невозможно, так как он "схлопнется" в отрезок $AC$. Следовательно, стороны искомого прямоугольника будут наклонены к линиям сетки.

Самый простой для построения вариант — это когда диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. В этом случае фигура $ABCD$ будет являться квадратом, что является частным случаем прямоугольника. Так как диагональ $AC$ горизонтальна, то перпендикулярная ей диагональ $BD$ будет вертикальной. Для ее построения мы находим середину $M$ отрезка $AC$ и проводим через нее вертикальную прямую. Затем на этой прямой откладываем от точки $M$ вверх 2 клетки, чтобы получить вершину $B$, и вниз 2 клетки, чтобы получить вершину $D$.

Ответ: Один из возможных прямоугольников — это квадрат, у которого вторая диагональ $BD$ перпендикулярна данной диагонали $AC$. Для его построения нужно найти середину отрезка $AC$, а затем отложить от нее по вертикали вверх и вниз по 2 клетки, чтобы найти соответственно вершины $B$ и $D$.