Номер 12, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки, равные 4 см и 5 см (рис. 6.8). Найдите стороны данного прямоугольника.

Рис. 6.8

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Биссектриса угла $A$, обозначим ее $AK$, пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$, а угол $A$ в прямоугольнике равен $90^\circ$, то $\angle DAK = \frac{1}{2}\angle A = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

В прямоугольнике противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle AKD$ и $\angle KAB$ равны. Так как $\angle KAB$ является второй половиной угла $A$, он также равен $45^\circ$. Таким образом, $\angle AKD = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADK$. В нем два угла равны: $\angle DAK = \angle AKD = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ADK$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AD = DK$.

По условию, биссектриса делит сторону $CD$ на отрезки длиной 4 см и 5 см. В зависимости от того, какой из отрезков прилегает к вершине $D$, возможны два случая.

Случай 1: Отрезок, прилегающий к вершине $D$, равен 4 см, то есть $DK = 4$ см, а $KC = 5$ см. Этот случай соответствует рисунку 6.8. В этом случае одна из сторон прямоугольника, $AD$, равна $DK$: $AD = 4$ см. Другая сторона, $CD$, равна сумме длин отрезков: $CD = DK + KC = 4 + 5 = 9$ см. Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см.

Случай 2: Отрезок, прилегающий к вершине $D$, равен 5 см, то есть $DK = 5$ см, а $KC = 4$ см. В этом случае сторона $AD$ была бы равна $DK$: $AD = 5$ см. Сторона $CD$ по-прежнему была бы равна сумме отрезков: $CD = DK + KC = 5 + 4 = 9$ см. Таким образом, стороны прямоугольника были бы равны 5 см и 9 см.

Поскольку в условии задачи есть ссылка на конкретный рисунок 6.8, на котором ясно показано, что $DK=4$ см, то решением является результат, полученный в первом случае.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см.