Номер 15, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Постройте прямоугольник по:

а) двум соседним сторонам;

б) стороне и диагонали.

а) двум соседним сторонам

Пусть даны два отрезка $a$ и $b$, которые являются длинами соседних сторон искомого прямоугольника. Назовем искомый прямоугольник $ABCD$, где $AB = a$ и $AD = b$. По определению, все углы прямоугольника прямые, а противоположные стороны равны.

Алгоритм построения:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.

2. В точке $A$ восстановим перпендикуляр к прямой $AB$. Для этого построим окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $AB$.

3. На построенном перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный данному отрезку $b$.

4. Теперь необходимо найти четвертую вершину $C$. Она является точкой пересечения двух окружностей:
- Окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным длине стороны $AB$ (то есть $a$).
- Окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине стороны $AD$ (то есть $b$).

5. Точку пересечения этих окружностей обозначим $C$.

6. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. По построению, его соседние стороны $AB$ и $AD$ равны заданным длинам $a$ и $b$, а угол $\angle DAB$ прямой. Так как по построению $DC=AB$ и $BC=AD$, то $ABCD$ – параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник построен согласно описанному алгоритму.

б) стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка $a$ и $d$, где $a$ – длина стороны, а $d$ – длина диагонали прямоугольника. Отметим, что для существования такого прямоугольника необходимо, чтобы $d > a$. Назовем искомый прямоугольник $ABCD$, где сторона $AB = a$ и диагональ $AC = d$. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Например, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B$, катетом $AB=a$ и гипотенузой $AC=d$.

Алгоритм построения:

1. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ по катету $a$ и гипотенузе $d$.
a. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.
b. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $AB$.
c. Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине диагонали $d$.
d. Точка пересечения этой окружности с перпендикуляром, восстановленным в точке $B$, будет третьей вершиной треугольника, назовем ее $C$. Соединим точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

2. Теперь необходимо достроить треугольник $ABC$ до прямоугольника $ABCD$. Для этого найдем четвертую вершину $D$. Она является точкой пересечения двух окружностей:
- Окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине стороны $BC$ (измеряем циркулем).
- Окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $AB$ (то есть $a$).

3. Точку пересечения этих окружностей обозначим $D$.

4. Соединим отрезками точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. По построению, он состоит из двух равных прямоугольных треугольников $ABC$ и $ADC$. Его сторона $AB$ равна $a$, а диагональ $AC$ равна $d$.

Ответ: Прямоугольник построен согласно описанному алгоритму.