Номер 1, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равен угол между:

а) диагоналями квадрата:

б) диагональю и стороной квадрата?

а) диагоналями квадрата

Рассмотрим квадрат. По определению, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Одним из ключевых свойств квадрата является то, что его диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Поскольку диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Приведем доказательство. Пусть дан квадрат $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (как стороны квадрата).
2. Сторона $OB$ — общая.
3. Сторона $AO$ равна стороне $CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма, которым является квадрат, они делятся точкой пересечения пополам).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle AOB = \angle COB$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle COB$ являются смежными, так как лежат на одной прямой $AC$. Их сумма равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle COB = 180^\circ$

Поскольку $\angle AOB = \angle COB$, мы можем записать:

$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$

$\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Таким образом, угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) диагональю и стороной квадрата

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Найдем угол между диагональю, например $AC$, и прилежащей к ней стороной, например $AD$. Этот угол — $\angle CAD$.

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Все углы квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам.

Следовательно, искомый угол равен половине прямого угла:

$\angle CAD = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Другой способ решения — рассмотреть треугольник, который диагональ отсекает от квадрата. Например, треугольник $\triangle ADC$.

1. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle D = 90^\circ$ (по определению квадрата).
2. Он также является равнобедренным, так как катеты $AD$ и $CD$ равны (как стороны одного квадрата).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является гипотенуза $AC$, значит $\angle CAD = \angle ACD$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle D + \angle CAD + \angle ACD = 180^\circ$

$90^\circ + \angle CAD + \angle CAD = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 90^\circ$

$\angle CAD = 45^\circ$

Таким образом, угол между диагональю и стороной квадрата равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.