Номер 3, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Чему равна меньшая диагональ ромба со стороной $a$ и острым углом в $60^\circ$?

Для решения этой задачи можно рассмотреть треугольник, который образуют две смежные стороны ромба и его меньшая диагональ. Меньшая диагональ ромба всегда лежит напротив его острого угла.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. По определению ромба, все его стороны равны. Значит, две стороны этого треугольника равны $a$. Угол между этими сторонами является острым углом ромба, который по условию равен $60^\circ$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом при вершине $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то каждый из углов при основании будет равен:

$\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Получается, что все три угла в этом треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является не просто равнобедренным, а равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, третья сторона треугольника, которая и является меньшей диагональю ромба, также равна $a$.

Способ 2: Использование теоремы косинусов

Можно также применить теорему косинусов для того же треугольника. Обозначим искомую меньшую диагональ как $d$. По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}$

$d^2 = 2a^2 - a^2$

$d^2 = a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$d = a$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $a$