Номер 10, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то он является квадратом.

Пусть дан прямоугольник ABCD. По определению прямоугольника, все его углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$) и его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$ и $AB \parallel CD$).

Рассмотрим диагональ AC. По условию, она является биссектрисой угла $\angle A$ (угла $\angle DAB$). Это означает, что она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку угол $\angle A$ прямоугольника равен $90^\circ$, то $\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$. Мы знаем, что один из его острых углов, $\angle BAC$, равен $45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти второй острый угол, $\angle BCA$:

$\angle BCA = 180^\circ - \angle B - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, сторона AB равна стороне BC.

Мы получили, что у прямоугольника ABCD две смежные стороны ($AB$ и $BC$) равны. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, по определению является квадратом (так как из свойств прямоугольника $AB=CD$ и $BC=AD$, то равенство $AB=BC$ влечет за собой равенство всех четырех сторон).

Таким образом, мы доказали, что данный прямоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.