Номер 13, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: $AE = BF = CG = DH$ (рис. 7.7). Докажите, что четырехугольник EFGH — квадрат.

Рис. 7.7

Доказательство.

Чтобы доказать, что четырехугольник EFGH является квадратом, необходимо установить два факта: во-первых, что все его стороны равны, и, во-вторых, что все его углы прямые.

1. Доказательство равенства сторон.

Рассмотрим четыре треугольника, которые образовались в углах квадрата ABCD: $\triangle HAE, \triangle EBF, \triangle FCG$ и $\triangle GDH$.

Поскольку ABCD — квадрат, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$). Пусть длина стороны квадрата равна $a$.

По условию задачи, на сторонах отложены равные отрезки: $AE = BF = CG = DH$. Обозначим их длину как $x$.

Тогда длины оставшихся частей сторон квадрата также будут равны между собой:

$HA = DA - DH = a - x$

$EB = AB - AE = a - x$

$FC = BC - BF = a - x$

$GD = CD - CG = a - x$

Таким образом, все четыре треугольника ($\triangle HAE, \triangle EBF, \triangle FCG, \triangle GDH$) являются прямоугольными и имеют одинаковые катеты длиной $x$ и $a-x$.

По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, все эти треугольники равны: $\triangle HAE \cong \triangle EBF \cong \triangle FCG \cong \triangle GDH$.

Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $HE = EF = FG = GH$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, EFGH — ромб.

2. Доказательство наличия прямых углов.

Теперь докажем, что у ромба EFGH есть хотя бы один прямой угол. Если это так, то все его углы будут прямыми, и он будет являться квадратом. Докажем, например, что $\angle GHE = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle HAE$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle AEH + \angle AHE = 90^\circ$.

Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle GDH \cong \triangle HAE$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle DHG$ в $\triangle GDH$ лежит напротив катета $GD=a-x$. Соответствующий ему угол в $\triangle HAE$ — это угол, лежащий напротив равного ему катета $HA=a-x$. Это угол $\angle AEH$. Таким образом, $\angle DHG = \angle AEH$.

Точки D, H, A лежат на одной прямой (стороне квадрата), поэтому угол $\angle DHA$ является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол составлен из трех углов: $\angle DHG, \angle GHE$ и $\angle AHE$.

Следовательно, $\angle DHG + \angle GHE + \angle AHE = 180^\circ$.

Заменив в этом равенстве $\angle DHG$ на равный ему $\angle AEH$, получим: $\angle AEH + \angle GHE + \angle AHE = 180^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\angle AEH + \angle AHE) + \angle GHE = 180^\circ$.

Поскольку сумма в скобках, как мы установили, равна $90^\circ$, уравнение принимает вид: $90^\circ + \angle GHE = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle GHE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, EFGH — это ромб с прямым углом, что по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение, что четырехугольник EFGH — квадрат, доказано.