Номер 18, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. На рисунке 7.10 изображен параллелограмм $ABCD$, на сторонах которого вне его построены равные треугольники: $\triangle ABM = \triangle CDP$ и $\triangle BCN = \triangle DAQ$. Является ли четырехугольник $MNPQ$ ромбом?

Рис. 7.10

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник MNPQ ромбом, необходимо проверить, все ли его стороны равны. Ромб — это частный случай параллелограмма, поэтому сначала можно проверить, является ли MNPQ параллелограммом. Однако, как мы покажем, в общем случае MNPQ не является даже параллелограммом, а следовательно, и не является ромбом.

Рассмотрим конкретный пример, который покажет, что стороны четырехугольника MNPQ не обязательно равны между собой.

1. Построение контрпримера.

Выберем в качестве основы параллелограмм $ABCD$, который не является ни прямоугольником, ни ромбом. Зададим координаты его вершин в декартовой системе координат:

$A = (0, 0)$, $B = (5, 0)$, $D = (2, 3)$, $C = B + D - A = (5+2-0, 0+3-0) = (7, 3)$.

Теперь построим на его сторонах внешним образом требуемые треугольники.

2. Построение $\triangle ABM$ и $\triangle CDP$.

Пусть $\triangle ABM$ — равнобедренный треугольник, построенный на стороне $AB$. Выберем вершину $M$ так, чтобы ее координаты были $M = (2.5, 4)$. Этот треугольник построен внешним образом, так как ордината точки $M$ положительна, а параллелограмм лежит в области $y \geq 0$ вблизи этой стороны.

По условию, $\triangle CDP \cong \triangle ABM$. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$ и имеет ту же длину 5. Середина стороны $CD$ — точка с координатами $(\frac{2+7}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4.5, 3)$. Высота $\triangle ABM$ равна 4. Чтобы $\triangle CDP$ был построен внешним образом, его вершина $P$ должна находиться "под" стороной $CD$. Таким образом, координаты точки $P$ будут:

$P = (4.5, 3 - 4) = (4.5, -1)$.

3. Построение $\triangle BCN$ и $\triangle DAQ$.

Выберем $\triangle BCN$ так, чтобы он был прямоугольным равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине $C$. Координаты вершин: $B = (5, 0)$, $C = (7, 3)$.

Вектор $\vec{CB} = (5-7, 0-3) = (-2, -3)$. Вектор, перпендикулярный $\vec{CB}$ и равный ему по длине, например, $\vec{v} = (3, -2)$. Чтобы треугольник был внешним, вершина $N$ должна быть смещена из точки $C$ по вектору $\vec{v}$ (или $-\vec{v}$, в зависимости от ориентации). Выберем $N = C + \vec{v} = (7, 3) + (3, -2) = (10, 1)$.

Проверим стороны $\triangle BCN$:

$BC = |\vec{CB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

$CN = |\vec{CN}| = \sqrt{(10-7)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$.

$BN = \sqrt{(10-5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$.

Действительно, $BC^2+CN^2 = 13+13=26=BN^2$, так что $\triangle BCN$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

Теперь найдем координаты вершины $Q$ из условия $\triangle DAQ \cong \triangle BCN$. Соответствие вершин: $D \leftrightarrow B, A \leftrightarrow C, Q \leftrightarrow N$.

Из этого соответствия следует, что $AQ = CN = \sqrt{13}$ и $DQ = BN = \sqrt{26}$.

Пусть $Q=(x, y)$. Тогда:

$AQ^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2 = 13$.

$DQ^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 26$.

Подставим $x^2 + y^2 = 13$ во второе уравнение:

$13 - 4x + 4 - 6y + 9 = 26 \implies 26 - 4x - 6y = 26 \implies 4x + 6y = 0 \implies y = -\frac{2}{3}x$.

Подставим $y$ в первое уравнение:

$x^2 + (-\frac{2}{3}x)^2 = 13 \implies x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13 \implies \frac{13}{9}x^2 = 13 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Если $x=3$, то $y=-2$. $Q_1 = (3, -2)$.

Если $x=-3$, то $y=2$. $Q_2 = (-3, 2)$.

Чтобы определить, какая из этих точек соответствует внешнему треугольнику, заметим, что $\angle QAD$ в $\triangle DAQ$ должен быть равен $\angle NCB = 90^\circ$ в $\triangle BCN$. Проверим это условие для $Q_1$ и $Q_2$. Вектор $\vec{AD}=(2,3)$.

Для $Q_1(3,-2)$: $\vec{AQ_1}=(3,-2)$. Скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AQ_1} = (2)(3) + (3)(-2) = 6 - 6 = 0$. Значит, $\angle Q_1AD = 90^\circ$.

Для $Q_2(-3,2)$: $\vec{AQ_2}=(-3,2)$. Скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AQ_2} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$. Значит, $\angle Q_2AD = 90^\circ$.

Обе точки образуют прямой угол. Внешняя сторона для отрезка $AD$ находится "справа и снизу". Точка $Q_1=(3,-2)$ подходит под это описание. Таким образом, $Q = (3, -2)$.

4. Расчет длин сторон четырехугольника MNPQ.

Теперь у нас есть координаты всех четырех вершин:

$M = (2.5, 4)$, $N = (10, 1)$, $P = (4.5, -1)$, $Q = (3, -2)$.

Найдем квадраты длин сторон четырехугольника MNPQ:

$MN^2 = (10 - 2.5)^2 + (1 - 4)^2 = (7.5)^2 + (-3)^2 = 56.25 + 9 = 65.25$.

$NP^2 = (4.5 - 10)^2 + (-1 - 1)^2 = (-5.5)^2 + (-2)^2 = 30.25 + 4 = 34.25$.

$PQ^2 = (3 - 4.5)^2 + (-2 - (-1))^2 = (-1.5)^2 + (-1)^2 = 2.25 + 1 = 3.25$.

$QM^2 = (2.5 - 3)^2 + (4 - (-2))^2 = (-0.5)^2 + 6^2 = 0.25 + 36 = 36.25$.

Как видим, все четыре стороны имеют разную длину: $MN^2 \neq NP^2 \neq PQ^2 \neq QM^2$.

Поскольку стороны четырехугольника MNPQ не равны, он не является ромбом. Более того, в данном примере MNPQ не является даже параллелограммом, так как у него не равны противоположные стороны ($MN^2 \neq PQ^2$ и $NP^2 \neq QM^2$).

Ответ: Четырехугольник MNPQ не всегда является ромбом. В общем случае он не является даже параллелограммом.