Номер 21, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Жители трех домов, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника с углом $120^\circ$, решили построить общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии?

Пусть дома расположены в вершинах A, B и C равнобедренного треугольника ABC. По условию, один из углов треугольника равен 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был равен 120°, то сумма двух углов при основании уже составляла бы $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$, что невозможно, так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол 120° является углом при вершине, противолежащей основанию. Пусть это будет угол B, то есть $\angle B = 120^{\circ}$.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то его боковые стороны равны: $AB = BC$. Углы при основании также равны: $\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.

Нужно найти место для колодца, которое будет находиться на одинаковом расстоянии от всех трех домов. В геометрии такая точка называется центром описанной окружности треугольника. Обозначим эту точку буквой O. По определению, точка O равноудалена от вершин A, B и C, то есть $OA = OB = OC = R$, где R — радиус описанной окружности.

По свойству углов, вписанных в окружность, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Рассмотрим центральный угол $\angle BOC$. Он опирается на дугу BC. На эту же дугу (если рассматривать с другой стороны) опирается вписанный угол $\angle BAC$. Точнее, поскольку треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника. Центральный угол $\angle BOC$ и вписанный угол $\angle BAC$ опираются на одну и ту же хорду BC. Величина центрального угла, опирающегося на хорду, вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же хорду и лежащего с центром по одну сторону от нее.

Угол $\angle BOC$ равен удвоенному углу $\angle BAC$.
$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник BOC является равнобедренным, так как $OB = OC = R$. Поскольку один из его углов ($\angle BOC$) равен 60°, то этот треугольник — равносторонний. Следовательно, $OB = OC = BC = R$.

Аналогично, рассмотрим центральный угол $\angle AOB$. Он равен удвоенному углу $\angle BCA$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник AOB является равнобедренным ($OA = OB = R$), и так как его угол при вершине O равен 60°, он также является равносторонним. Следовательно, $OA = OB = AB = R$.

Из полученных равенств следует, что $OA = OB = OC = AB = BC$. Это означает, что расстояние от колодца до каждого из трех домов должно быть равно длине боковых (равных) сторон треугольника.

Теперь определим точное местоположение точки O.
Рассмотрим точку O', которая является зеркальным отражением вершины B относительно прямой AC (основания треугольника).
1. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии до симметричных точек одинаково. Так как точки A и C лежат на оси симметрии AC, то $AO' = AB$ и $CO' = CB$. Поскольку $AB=CB$, то $AO' = CO' = AB$.
2. Расстояние от точки B до прямой AC равно высоте треугольника $h_b$, проведенной из вершины B. Расстояние от точки O' до прямой AC также равно $h_b$. Таким образом, расстояние $BO'$ равно $2h_b$.
В равнобедренном треугольнике ABC высота BD, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Значит, $\angle ABD = \angle B / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$.
В прямоугольном треугольнике ABD катет $BD$ (высота $h_b$) равен: $h_b = BD = AB \cdot \cos(60^{\circ}) = AB \cdot (1/2) = AB/2$.
Тогда расстояние $BO' = 2h_b = 2 \cdot (AB/2) = AB$.
3. Мы получили, что $AO' = CO' = BO' = AB$. Это означает, что точка O' и есть искомый центр описанной окружности O.

Таким образом, место для колодца — это точка, симметричная вершине с углом 120° относительно прямой, соединяющей две другие вершины.

Ответ: Колодец следует построить в точке, которая является зеркальным отражением дома, расположенного в вершине с углом 120°, относительно прямой, соединяющей два других дома. В этом случае расстояние от колодца до каждого из трех домов будет одинаковым и будет равно расстоянию между домами, образующими боковые стороны равнобедренного треугольника.