Номер 14, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Постройте ромб по:

а) стороне и диагонали;

б) двум диагоналям.

а) по стороне и диагонали

Пусть даны отрезки, соответствующие длине стороны ромба $a$ и длине одной из его диагоналей $d$. Для построения ромба $ABCD$ выполним следующие шаги:

1. С помощью линейки проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$. Точки $A$ и $C$ будут двумя противоположными вершинами ромба.

2. Ромб представляет собой четырехугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, остальные две вершины, $B$ и $D$, должны находиться на расстоянии $a$ от вершин $A$ и $C$.

3. Устанавливаем раствор циркуля равным длине стороны $a$. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности.

4. Не меняя раствора циркуля, из точки $C$ как из центра проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Назовем эти точки пересечения $B$ и $D$.

5. Соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$ последовательно.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB = BC = CD = DA = a$), а диагональ $AC$ равна $d$.

Ответ: Построение сводится к построению двух равнобедренных треугольников ($ABC$ и $ADC$) с общим основанием (данная диагональ $d$) и боковыми сторонами, равными данной стороне ромба $a$.

б) по двум диагоналям

Пусть даны отрезки, соответствующие длинам двух диагоналей ромба, $d_1$ и $d_2$. Построение основано на свойстве диагоналей ромба: они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный одной из диагоналей, например, $d_1$.

2. Находим середину отрезка $AC$. Для этого строим его серединный перпендикуляр. Из точек $A$ и $C$ как из центров проводим дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина $AC$) с обеих сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, будет перпендикулярна $AC$ и пройдет через его середину. Обозначим точку пересечения этой прямой с $AC$ как $O$.

3. Вторая диагональ $BD$ будет лежать на построенном серединном перпендикуляре. Поскольку диагонали делятся точкой пересечения пополам, от точки $O$ на перпендикуляре нужно отложить в обе стороны отрезки длиной $d_2/2$.

4. Устанавливаем раствор циркуля равным половине длины второй диагонали, $d_2/2$. Из центра $O$ делаем засечки на серединном перпендикуляре. Полученные точки $B$ и $D$ будут двумя другими вершинами ромба.

5. Соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$ последовательно.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, а их длины равны $d_1$ и $d_2$ соответственно.

Ответ: Построение выполняется путем построения двух взаимно перпендикулярных отрезков, которые имеют общий центр и равны данным диагоналям, а затем соединения их концов.