Номер 8, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон квадрата?

Пусть дан квадрат $ABCD$. Точки $E, F, G, H$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Образованный ими четырехугольник — это $EFGH$. Определим его вид.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. По свойству средней линии, $EF$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $HG$ является средней линией, и поэтому $HG \parallel AC$ и $HG = \frac{1}{2} AC$.

Из того, что $EF \parallel AC$ и $HG \parallel AC$, следует, что $EF \parallel HG$. Из того, что $EF = \frac{1}{2} AC$ и $HG = \frac{1}{2} AC$, следует, что $EF = HG$.Поскольку в четырехугольнике $EFGH$ противолежащие стороны $EF$ и $HG$ равны и параллельны, то $EFGH$ — параллелограмм.

Теперь воспользуемся свойствами исходной фигуры — квадрата. В квадрате диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то есть $AC = BD$ и $AC \perp BD$.

Рассмотрим сторону $EH$ четырехугольника $EFGH$. В треугольнике $ABD$ отрезок $EH$ соединяет середины сторон $AB$ и $DA$, значит, $EH$ — средняя линия. Поэтому $EH \parallel BD$ и $EH = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку диагонали квадрата равны ($AC = BD$), то и смежные стороны нашего параллелограмма равны: $EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = EH$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом. Следовательно, $EFGH$ — ромб.

Так как диагонали исходного квадрата перпендикулярны ($AC \perp BD$), а стороны ромба $EF$ и $EH$ соответственно параллельны этим диагоналям ($EF \parallel AC$ и $EH \parallel BD$), то эти стороны также перпендикулярны: $EF \perp EH$. Это означает, что угол $\angle HEF$ является прямым ($90^\circ$).

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Таким образом, четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон квадрата, — это квадрат.

Ответ: квадрат.