Номер 7, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон прямоугольника?

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон как $K, L, M, N$, где $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, и $N$ — середина $DA$. Соединив эти точки, получим четырехугольник $KLMN$. Наша задача — определить вид этого четырехугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине:$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что противолежащие стороны $KL$ и $MN$ четырехугольника $KLMN$ параллельны и равны ($KL \parallel MN$ и $KL = MN$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, поэтому он параллелен диагонали $BD$ и равен ее половине:$KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Таким же образом, в треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией:$LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Ключевое свойство прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны между собой: $AC = BD$.

Сравним длины всех сторон параллелограмма $KLMN$:$KL = MN = \frac{1}{2}AC$$KN = LM = \frac{1}{2}BD$Так как $AC = BD$, мы можем заключить, что все стороны четырехугольника $KLMN$ равны: $KL = LM = MN = NK$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом.