Номер 2, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите какой-нибудь квадрат $ABCD$, одна сторона которого показана на рисунке 7.5.

а)

б)

Рис. 7.5

а)

Для построения квадрата $ABCD$ по известной стороне $AB$ необходимо найти координаты вершин $C$ и $D$. В квадрате все стороны равны по длине, а соседние стороны перпендикулярны.

1. Определим смещение по клеткам для стороны $AB$. Чтобы перейти из точки $A$ в точку $B$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Это можно представить в виде вектора с координатами $\vec{AB} = (3, 2)$.

2. Сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$ и иметь такую же длину. Вектор, перпендикулярный вектору $(x, y)$, имеет координаты $(-y, x)$ или $(y, -x)$.

3. Для вектора $\vec{AB} = (3, 2)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (-2, 3)$ (смещение на 2 клетки влево и 3 клетки вверх) и $\vec{v_2} = (2, -3)$ (смещение на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз). Это значит, что существует два возможных квадрата, которые можно построить на стороне $AB$.

4. Рассмотрим первый случай, используя вектор $\vec{v_1} = (-2, 3)$. Вектор $\vec{BC}$ будет равен этому вектору. Чтобы найти вершину $C$, нужно из точки $B$ сместиться на 2 клетки влево и 3 клетки вверх.

5. Сторона $AD$ должна быть равна и параллельна стороне $BC$. Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC} = (-2, 3)$. Чтобы найти вершину $D$, нужно из точки $A$ также сместиться на 2 клетки влево и 3 клетки вверх.

6. Соединив точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим искомый квадрат.

Ответ: Чтобы достроить квадрат, от точки $B$ отсчитайте 2 клетки влево и 3 клетки вверх и поставьте точку $C$. Затем от точки $A$ отсчитайте 2 клетки влево и 3 клетки вверх и поставьте точку $D$. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Другой возможный квадрат можно получить, отсчитывая от точек $B$ и $A$ по 2 клетки вправо и 3 клетки вниз.

б)

В данном случае задана сторона $AD$ квадрата $ABCD$. Необходимо найти вершины $B$ и $C$.

1. Определим смещение по клеткам для стороны $AD$. Чтобы перейти из точки $A$ в точку $D$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 4 клетки вверх. Вектор этой стороны $\vec{AD} = (-1, 4)$.

2. Сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ и равна ей по длине. Применим правило нахождения перпендикулярного вектора: для $(x, y)$ это $(-y, x)$ или $(y, -x)$.

3. Для вектора $\vec{AD} = (-1, 4)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (-4, -1)$ (смещение на 4 клетки влево и 1 клетку вниз) и $\vec{v_2} = (4, 1)$ (смещение на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх).

4. Выберем второй вариант, $\vec{v_2} = (4, 1)$, в качестве вектора для стороны $\vec{AB}$. Чтобы найти вершину $B$, нужно из точки $A$ сместиться на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх.

5. В квадрате противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB} = (4, 1)$. Чтобы найти вершину $C$, нужно из точки $D$ сместиться на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх.

6. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим искомый квадрат.

Ответ: Чтобы достроить квадрат, от точки $A$ отсчитайте 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и поставьте точку $B$. Затем от точки $D$ отсчитайте 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и поставьте точку $C$. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Другой возможный квадрат можно получить, отсчитывая от точек $A$ и $D$ по 4 клетки влево и 1 клетке вниз.