Номер 14, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Перпендикуляр $DH$ $(рис. 6.9)$, опущенный из вершины $D$ прямоугольника $ABCD$ на его диагональ $AC$, делит угол $D$ в отношении $2 : 3$. Найдите:

a) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами;

б) угол между перпендикуляром $DH$ и диагональю $BD$.

а)Дано, что ABCD - прямоугольник, следовательно, все его углы равны 90°. В частности, угол $\angle ADC = 90°$. Перпендикуляр DH, опущенный из вершины D на диагональ AC, делит этот прямой угол на два угла: $\angle ADH$ и $\angle CDH$. По условию задачи, их отношение составляет $\angle CDH : \angle ADH = 2 : 3$.Пусть одна часть составляет $x$, тогда $\angle CDH = 2x$ и $\angle ADH = 3x$. Их сумма равна углу прямоугольника:$2x + 3x = 90°$$5x = 90°$$x = 18°$Теперь найдем величины этих углов:$\angle CDH = 2 \cdot 18° = 36°$$\angle ADH = 3 \cdot 18° = 54°$Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$. Поскольку $DH \perp AC$, угол $\angle DHC = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, поэтому угол $\angle HCD$ (который является углом $\angle ACD$) равен:$\angle ACD = 90° - \angle CDH = 90° - 36° = 54°$.Это один из углов, которые диагональ образует со стороной. Другой угол, $\angle DAC$, можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$:$\angle DAC = 90° - \angle ACD = 90° - 54° = 36°$.В силу свойств прямоугольника (параллельность противоположных сторон и равенство накрест лежащих углов), все углы, образуемые диагоналями со сторонами, будут равны либо $36°$, либо $54°$.
Ответ:углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами, равны $36°$ и $54°$.

б)Для нахождения угла между перпендикуляром DH и диагональю BD (то есть угла $\angle HDB$), нам необходимо сначала определить величину угла $\angle ADB$.Пусть диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются в точке O. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OA = OD$. Это означает, что треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ODA = \angle OAD$.Угол $\angle OAD$ — это тот же угол, что и $\angle CAD$, который мы вычислили в пункте а): $\angle CAD = 36°$.Следовательно, $\angle ADB = \angle ODA = 36°$.Из пункта а) мы также знаем, что $\angle ADH = 54°$.Искомый угол $\angle HDB$ представляет собой разность между углами $\angle ADH$ и $\angle ADB$, поскольку луч DB проходит между лучами DA и DH.$\angle HDB = \angle ADH - \angle ADB = 54° - 36° = 18°$.
Ответ:угол между перпендикуляром DH и диагональю BD равен $18°$.