Номер 19, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. На сторонах квадрата $ABCD$ вне его построили равные треугольники (рис. 7.11). Точками $E, F, G, H$ обозначили пересечения их высот. Докажите, что четырехугольник $EFGH$ является квадратом.

Рис. 7.11

Для доказательства того, что четырехугольник $EFGH$ является квадратом, мы воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, и пусть $O$ — его центр (точка пересечения диагоналей). По условию, на сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ вне квадрата построены равные треугольники. Обозначим эти треугольники $\triangle T_{AB}, \triangle T_{BC}, \triangle T_{CD}, \triangle T_{DA}$ соответственно. Точки $E, F, G, H$ — это ортоцентры (точки пересечения высот) этих треугольников.

Рассмотрим поворот $R$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$. При таком повороте квадрат $ABCD$ переходит сам в себя. В частности:

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$.
• Вершина $B$ переходит в вершину $C$.
• Вершина $C$ переходит в вершину $D$.
• Вершина $D$ переходит в вершину $A$.

Следовательно, сторона $AB$ переходит в сторону $BC$, сторона $BC$ — в сторону $CD$, и так далее.

Поскольку все построенные треугольники равны и построены одинаковым образом на равных сторонах квадрата, то поворот $R$ переводит треугольник $\triangle T_{AB}$ в треугольник $\triangle T_{BC}$. Аналогично, $R$ переводит $\triangle T_{BC}$ в $\triangle T_{CD}$, $\triangle T_{CD}$ в $\triangle T_{DA}$ и $\triangle T_{DA}$ в $\triangle T_{AB}$.

Ортоцентр является точкой, положение которой однозначно определяется вершинами треугольника. Поворот является движением (изометрией), а значит, он сохраняет все геометрические отношения. Если поворот $R$ отображает $\triangle T_{AB}$ на $\triangle T_{BC}$, то он также отображает ортоцентр треугольника $\triangle T_{AB}$ на ортоцентр треугольника $\triangle T_{BC}$.

По определению, $E$ — ортоцентр $\triangle T_{AB}$, а $F$ — ортоцентр $\triangle T_{BC}$. Таким образом, поворот $R$ переводит точку $E$ в точку $F$. Математически это записывается как $R(E) = F$. По той же причине, $R(F) = G$, $R(G) = H$ и $R(H) = E$.

Из того, что четырехугольник $EFGH$ переходит в себя при повороте на $90^\circ$ вокруг точки $O$, следует, что он является правильным четырехугольником, то есть квадратом. Докажем это подробнее:

1. Равенство сторон. Поворот сохраняет расстояния между точками (является изометрией). Так как при повороте $R$ отрезок $EF$ переходит в отрезок $FG$, их длины должны быть равны: $EF = FG$. Аналогично, так как $R(F)=G$ и $R(G)=H$, то $FG=GH$. Продолжая, получаем $GH=HE$. Таким образом, все стороны четырехугольника равны: $EF=FG=GH=HE$. Это означает, что $EFGH$ — ромб.

2. Прямые углы. Угол между некоторым отрезком и его образом при повороте равен углу поворота. Отрезок $FG$ является образом отрезка $EF$ при повороте на $90^\circ$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle EFG = 90^\circ$. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой, является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник $EFGH$ имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла, а значит, является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $EFGH$ является квадратом.