Номер 22, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Изобразите какой-нибудь треугольник. Проведите отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Какими свойствами обладает этот отрезок?

Изобразим произвольный треугольник $ABC$. Далее найдем середины двух его сторон. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Это означает, что $AM = MB$ и $BN = NC$. Соединим точки $M$ и $N$ отрезком.

Полученный отрезок $MN$ называется средней линией треугольника. Этот отрезок обладает рядом важных свойств, которые формулируются в теореме о средней линии треугольника.

Свойство 1: Параллельность

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, то есть той стороне, с которой она не имеет общих точек. В нашем случае отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$. Математически это свойство записывается так: $MN \parallel AC$

Свойство 2: Длина

Длина средней линии треугольника равна половине длины третьей стороны. Для нашего треугольника длина отрезка $MN$ равна половине длины стороны $AC$. В виде формулы это свойство выглядит следующим образом: $MN = \frac{1}{2} AC$

Дополнительные свойства, вытекающие из основных:

- Средняя линия $MN$ отсекает от исходного треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $MBN$. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$.

- Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, площадь отсеченного треугольника $MBN$ в четыре раза меньше площади исходного треугольника $ABC$. Формулой: $S_{\triangle MBN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

Ответ: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Он параллелен третьей стороне этого треугольника и равен ее половине.