Номер 17, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. На рисунке 7.9 изображен прямоугольник $ABCD$, на сторонах которого внутри него построены равные равнобедренные треугольники: $\triangle ABM = \triangle CDP$ и $\triangle BCN = \triangle ADQ$. Докажите, что четырехугольник $MNPQ$ — ромб.

Доказательство:

По условию, $ABCD$ — прямоугольник. Это означает, что его противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), а все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

На сторонах прямоугольника внутри него построены равные равнобедренные треугольники: $\Delta ABM = \Delta CDP$ и $\Delta BCN = \Delta ADQ$.

Из того, что $\Delta ABM$ и $\Delta CDP$ являются равными равнобедренными треугольниками с основаниями $AB$ и $CD$ соответственно, следует, что их боковые стороны равны: $AM = BM = CP = DP$. Также равны их углы при основании: $\angle MAB = \angle MBA = \angle PCD = \angle PDC$.

Аналогично, из того, что $\Delta BCN$ и $\Delta ADQ$ являются равными равнобедренными треугольниками с основаниями $BC$ и $AD$ соответственно, следует, что их боковые стороны равны: $BN = CN = AQ = DQ$. Также равны их углы при основании: $\angle NBC = \angle NCB = \angle QAD = \angle QDA$.

Чтобы доказать, что четырехугольник $MNPQ$ является ромбом, нужно доказать равенство всех его сторон: $MN = NP = PQ = QM$. Для этого докажем равенство четырех треугольников, расположенных в углах прямоугольника: $\Delta QAM$, $\Delta MBN$, $\Delta PCN$ и $\Delta PDQ$.

Сравним эти треугольники. Во-первых, сравним их стороны. В $\Delta QAM$ это стороны $AQ$ и $AM$; в $\Delta MBN$ — $BN$ и $BM$; в $\Delta PCN$ — $CN$ и $CP$; в $\Delta PDQ$ — $DQ$ и $DP$. Как мы установили ранее, $AM = BM = CP = DP$ и $AQ = BN = CN = DQ$. Таким образом, эти четыре треугольника имеют по две соответственно равные стороны.

Во-вторых, сравним углы, заключенные между этими сторонами. Так как углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то:$\angle QAM = \angle DAB - \angle MAB - \angle QAD = 90^\circ - \angle MAB - \angle QAD$;$\angle MBN = \angle ABC - \angle MBA - \angle NBC = 90^\circ - \angle MBA - \angle NBC$;$\angle PCN = \angle BCD - \angle PCD - \angle NCB = 90^\circ - \angle PCD - \angle NCB$;$\angle PDQ = \angle CDA - \angle PDC - \angle ADQ = 90^\circ - \angle PDC - \angle ADQ$.Учитывая ранее установленные равенства углов ($\angle MAB = \angle MBA = \angle PCD = \angle PDC$ и $\angle QAD = \angle NBC = \angle NCB = \angle QDA$), мы заключаем, что все эти четыре угла равны между собой: $\angle QAM = \angle MBN = \angle PCN = \angle PDQ$.

Следовательно, четыре треугольника $\Delta QAM$, $\Delta MBN$, $\Delta PCN$ и $\Delta PDQ$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует и равенство их третьих сторон: $QM = MN = NP = PQ$.

Поскольку все стороны четырехугольника $MNPQ$ равны, он является ромбом по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.