Номер 16, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. На листе бумаги в клетку отмечены три вершины квадрата $ABCD$ (рис. 7.8). Пользуясь линейкой без делений, постройте четвертую вершину и центр квадрата.

BCA

Рис. 7.8

Построение четвертой вершины

Для нахождения четвертой вершины квадрата ABCD и его центра воспользуемся свойствами этой фигуры и клетчатой разметкой листа.

1. Сначала определим, как расположены данные вершины A, B и C. Для удобства анализа введем систему координат, где одна клетка равна единице. Пусть вершина A имеет координаты (1, 2). Тогда, судя по рисунку, B будет в точке (2, 6), а C — в точке (6, 5).

2. Проверим, являются ли A, B и C последовательными вершинами. Для этого найдем векторы, соответствующие отрезкам AB и BC, и проверим, равны ли они по длине и перпендикулярны ли друг другу.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты: $(x_B - x_A, y_B - y_A) = (2-1, 6-2) = (1, 4)$.

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты: $(x_C - x_B, y_C - y_B) = (6-2, 5-6) = (4, -1)$.

3. Найдем квадраты длин этих векторов (чтобы избежать корней):

$|\vec{AB}|^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.

$|\vec{BC}|^2 = 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.

Так как длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$), отрезки AB и BC могут быть смежными сторонами квадрата.

4. Проверим, является ли угол $\angle ABC$ прямым. Для этого вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 4) + (4 \cdot (-1)) = 4 - 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и, следовательно, угол $\angle ABC = 90^\circ$.

5. Мы доказали, что A, B и C — три последовательные вершины квадрата. Четвертая вершина D должна дополнять фигуру до квадрата. В квадрате (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{AD}$ должен быть равен вектору $\vec{BC}$.

Геометрически это означает, что для нахождения точки D нужно сместить точку A так же, как точка B была смещена для получения точки C. Смещение из B в C — это 4 клетки вправо и 1 клетка вниз. Применяя такое же смещение к точке A, мы найдем точку D.

Начав с точки A(1, 2), смещаемся на 4 клетки вправо (координата x становится $1+4=5$) и на 1 клетку вниз (координата y становится $2-1=1$). Таким образом, координаты вершины D — (5, 1).

Ответ: Чтобы построить четвертую вершину D, необходимо от точки A отступить на 4 клетки вправо и 1 клетку вниз и отметить полученную точку. Это и будет вершина D.

Построение центра квадрата

Центр квадрата является точкой пересечения его диагоналей. Также известно, что диагонали в точке пересечения делятся пополам.

1. Мы уже определили все четыре вершины квадрата: A, B, C и D.

2. С помощью линейки без делений соединим противоположные вершины, то есть построим диагонали AC и BD.

3. Точка пересечения этих двух диагоналей и будет центром квадрата. На рисунке видно, что диагональ AC соединяет точки (1, 2) и (6, 5), а диагональ BD соединяет точки (2, 6) и (5, 1). Их пересечение — искомый центр O.

Аналитически можно проверить, что координаты центра (середины диагонали AC) равны:

$O = (\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{1+6}{2}, \frac{2+5}{2}) = (3.5, 3.5)$.

Ответ: Для построения центра квадрата необходимо с помощью линейки провести два отрезка, соединяющие противоположные вершины (диагонали AC и BD). Точка их пересечения является центром квадрата.