Вопросы, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется средней линией треугольника?

2. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.

1. Что называется средней линией треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Например, если взять треугольник $ABC$, отметить точку $M$ как середину стороны $AB$ (так, что $AM = MB$) и точку $N$ как середину стороны $AC$ (так, что $AN = NC$), то отрезок $MN$ будет являться средней линией этого треугольника. Всего в любом треугольнике можно провести три средние линии, соединяя середины каждой пары сторон.

Ответ: Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.

Теорема о средней линии треугольника гласит: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $MN$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Согласно теореме, справедливы два утверждения:

1. Параллельность: средняя линия $MN$ параллельна стороне $BC$. В виде формулы: $MN \parallel BC$.

2. Длина: длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $BC$. В виде формулы: $MN = \frac{1}{2}BC$.

Доказательство:

Докажем теорему, используя векторы. Пусть в $\triangle ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $AC$.

По определению середины отрезка, можно записать следующие векторные равенства: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ и $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Выразим вектор $\vec{MN}$ по правилу треугольника (или разности векторов):

$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$

Разность векторов $\vec{AC} - \vec{AB}$ равна вектору $\vec{BC}$. Таким образом, мы получаем:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Из этого векторного равенства следует, что:

1. Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны (сонаправлены), а значит, прямые, на которых они лежат, параллельны: $MN \parallel BC$.

2. Длина (модуль) вектора $\vec{MN}$ равна половине длины вектора $\vec{BC}$: $|\vec{MN}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}|$, то есть $MN = \frac{1}{2}BC$.

Теорема доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.