Номер 6, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Докажите, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть его стороны равны $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Отметим на сторонах этого треугольника точки $D$, $E$ и $F$, которые являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Соединив эти точки, мы получим три отрезка: $DE$, $EF$ и $FD$. Эти отрезки являются средними линиями треугольника $\triangle ABC$. Они разделяют исходный треугольник на четыре меньших треугольника: $\triangle AFE$, $\triangle FBD$, $\triangle EDC$ и центральный треугольник $\triangle FED$.

Чтобы доказать, что эти четыре треугольника равны (конгруэнтны), воспользуемся свойством средней линии треугольника и третьим признаком равенства треугольников.

Свойство средней линии: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Применим это свойство для нахождения длин сторон центрального треугольника $\triangle FED$:

1. Средняя линия $EF$ (соединяет середины сторон $AB$ и $AC$) параллельна стороне $BC$ и равна $EF = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

2. Средняя линия $FD$ (соединяет середины сторон $AB$ и $BC$) параллельна стороне $AC$ и равна $FD = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$.

3. Средняя линия $DE$ (соединяет середины сторон $BC$ и $AC$) параллельна стороне $AB$ и равна $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$.

Теперь найдем длины сторон трех "угловых" треугольников, используя то, что точки $D, E, F$ — середины сторон:

• В треугольнике $\triangle AFE$ стороны равны: $AF = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$, $AE = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$, а длина стороны $FE$ равна $\frac{a}{2}$ (как мы выяснили ранее).

• В треугольнике $\triangle FBD$ стороны равны: $FB = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$, $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$, а длина стороны $FD$ равна $\frac{b}{2}$.

• В треугольнике $\triangle EDC$ стороны равны: $DC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$, $EC = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$, а длина стороны $DE$ равна $\frac{c}{2}$.

Таким образом, мы видим, что все четыре треугольника — $\triangle AFE$, $\triangle FBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle FED$ — имеют одинаковый набор длин сторон: $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Так как все четыре треугольника имеют одинаковые длины сторон, они все равны (конгруэнтны) между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника и третьем признаке равенства треугольников (по трем сторонам). По свойству средней линии, стороны центрального треугольника ($DE, EF, FD$) равны половинам сторон исходного треугольника ($c/2, a/2, b/2$). Стороны трех угловых треугольников также состоят из половин сторон исходного треугольника. В результате все четыре малых треугольника имеют одинаковый набор длин сторон ($\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}$), а следовательно, они равны между собой по третьему признаку равенства треугольников.