Номер 12, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$ и $BE$, которые пересекаются в точке $M$ (рис. 8.3). В треугольнике $AMB$ проведена средняя линия $FG \parallel AB$. Докажите, что четырехугольник $FGDE$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $AD$ и $BE$ являются медианами, то по определению медианы, точка $D$ — середина стороны $BC$, а точка $E$ — середина стороны $AC$.

Рассмотрим отрезок $ED$. Так как он соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$, то $ED$ является его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине: $ED \parallel AB$ и $ED = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMB$. По условию, $FG$ является его средней линией. По свойству средней линии, она также параллельна основанию и равна его половине: $FG \parallel AB$ и $FG = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, мы имеем два факта:
1. $ED \parallel AB$ и $FG \parallel AB$. Из этого следует, что $ED \parallel FG$ (по свойству транзитивности параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой).
2. $ED = \frac{1}{2}AB$ и $FG = \frac{1}{2}AB$. Из этого следует, что $ED = FG$.

Мы рассмотрели четырехугольник $FGDE$ и установили, что его противоположные стороны $ED$ и $FG$ одновременно и параллельны, и равны по длине.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, $FGDE$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $FGDE$ является параллелограммом.