Номер 18, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Как, используя свойство средней линии треугольника, провести через пункт $C$ дорогу, параллельную дороге, соединяющей пункты $A$ и $B$ (рис. 8.7)?

Рис. 8.7

Чтобы, используя свойство средней линии треугольника, провести через точку C дорогу, параллельную дороге, соединяющей точки A и B, нужно выполнить следующие шаги построения:

1. Соединить точку C с одной из точек на дороге, например, с точкой A, получив отрезок AC.

2. На прямой, содержащей отрезок AC, отложить за точкой C отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AC. Таким образом, точка C станет серединой нового отрезка AD.

3. Соединить полученную точку D с другой точкой на дороге — точкой B. В результате этого построения образуется треугольник ADB.

4. Найти середину стороны DB этого треугольника и обозначить ее буквой M.

5. Провести прямую через точки C и M. Эта прямая и будет искомой дорогой.

Обоснование корректности построения заключается в следующем. В построенном треугольнике $ \triangle ADB $ точка C является серединой стороны AD (по построению), а точка M — серединой стороны DB (также по построению). Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Следовательно, отрезок CM — это средняя линия треугольника $ \triangle ADB $. По свойству средней линии треугольника, она всегда параллельна третьей стороне. В нашем случае это означает, что прямая, содержащая отрезок CM, параллельна прямой, содержащей сторону AB. Так как построенная прямая проходит через заданную точку C и параллельна дороге AB, она является решением задачи.

Ответ: Необходимо построить треугольник $ \triangle ADB $, где точка D такова, что C является серединой отрезка AD. Затем найти середину M стороны DB. Прямая CM будет искомой дорогой. Это следует из того, что CM является средней линией треугольника $ \triangle ADB $, и по свойству средней линии она параллельна стороне AB ($CM \parallel AB$).