Номер 5, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$?

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Из этих свойств следует, что и сумма противолежащих углов также равна $180^\circ$.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — это противолежащие углы трапеции. В трапеции один из этих углов будет острым, а другой — тупым. Предположим, что $ \beta $ — тупой угол, а $ \alpha $ — острый.

Исходя из свойства равнобедренной трапеции, мы можем составить первое уравнение:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $40^\circ$. Это дает нам второе уравнение:

$ \beta - \alpha = 40^\circ $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 40^\circ \end{cases} $

Сложим левые и правые части этих уравнений, чтобы найти значение угла $ \beta $:

$ (\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ $

$ 2\beta = 220^\circ $

$ \beta = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ $

Теперь, зная значение $ \beta $, найдем угол $ \alpha $, подставив его в первое уравнение:

$ \alpha + 110^\circ = 180^\circ $

$ \alpha = 180^\circ - 110^\circ $

$ \alpha = 70^\circ $

Так как в равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны, то два угла трапеции (при большем основании) равны по $70^\circ$, а два других угла (при меньшем основании) — по $110^\circ$.

Ответ: два угла по 70° и два угла по 110°.