Номер 4, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 см и 4 см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее основание. Проведем перпендикуляр (высоту) $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$.

Согласно условию, высота $BH$ делит основание $AD$ на два отрезка, $AH$ и $HD$, с длинами 10 см и 4 см. Длина всего большего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 10 \text{ см} + 4 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Для нахождения меньшего основания воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Проведем еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. То есть, $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку его стороны $BH$ и $CK$ перпендикулярны параллельным прямым $AD$ и $BC$. Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $BC$: $HK = BC$.

Отрезок $HD$ можно представить как сумму отрезков $HK$ и $KD$: $HD = HK + KD$.

Заменив в этом выражении $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$, получим: $HD = BC + AH$.

Из этого соотношения следует, что отрезок $HD$ длиннее отрезка $AH$, так как длина основания $BC$ является положительной величиной ($BC > 0$).

Следовательно, из двух данных отрезков (10 см и 4 см) больший отрезок — это $HD$, а меньший — $AH$.

$HD = 10 \text{ см}$

$AH = 4 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в полученную ранее формулу $HD = BC + AH$:

$10 = BC + 4$

Выразим отсюда искомую длину меньшего основания $BC$:

$BC = 10 - 4 = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.