Номер 17, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Восстановите ромб по точке пересечения его диагоналей $O$ и серединам $E$, $F$ двух смежных сторон (рис. 8.6).

а)б)

Рис. 8.6

Для восстановления ромба воспользуемся его свойствами и свойствами средней линии треугольника. Пусть искомый ромб — это $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей, $E$ — середина стороны $AB$, а $F$ — середина смежной ей стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EF$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине, то есть $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

Точка $O$ является центром ромба и, следовательно, серединой диагонали $AC$. Это означает, что вектор $\vec{OC}$ направлен так же, как и вектор $\vec{AC}$, а его длина составляет половину длины $AC$, то есть $|\vec{OC}| = \frac{1}{2}AC$.

Сравнивая эти два факта, мы приходим к выводу, что векторы $\vec{OC}$ и $\vec{EF}$ равны: $\vec{OC} = \vec{EF}$. Это ключевое соотношение, которое позволяет нам найти вершину $C$.

Алгоритм восстановления ромба будет следующим:

1. Найти вектор $\vec{EF}$, соединяющий середины смежных сторон.

2. Найти положение вершины $C$, отложив вектор $\vec{EF}$ от точки $O$.

3. Найти положение вершины $A$, зная, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$ (то есть $A$ симметрична $C$ относительно $O$).

4. Найти положение вершины $B$, зная, что точка $F$ является серединой отрезка $BC$ (то есть $B$ симметрична $C$ относительно $F$).

5. Найти положение вершины $D$, зная, что точка $O$ является серединой отрезка $BD$ (то есть $D$ симметрична $B$ относительно $O$).

Применим этот метод для каждого случая.

а) Введем систему координат, разместив начало в левом нижнем углу сетки. Тогда заданные точки имеют следующие координаты: $O(2, 3)$, $E(2, 1)$ и $F(1, 2)$.

1. Вычислим вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = (1 - 2, 2 - 1) = (-1, 1)$.

2. Найдем координаты вершины $C$:

$\vec{c} = \vec{o} + \vec{EF} = (2, 3) + (-1, 1) = (1, 4)$. Таким образом, $C(1, 4)$.

3. Найдем координаты вершины $A$. Точка $A$ симметрична $C$ относительно $O$:

$\vec{a} = 2\vec{o} - \vec{c} = 2(2, 3) - (1, 4) = (4, 6) - (1, 4) = (3, 2)$. Таким образом, $A(3, 2)$.

4. Найдем координаты вершины $B$. Точка $B$ симметрична $C$ относительно $F$:

$\vec{b} = 2\vec{f} - \vec{c} = 2(1, 2) - (1, 4) = (2, 4) - (1, 4) = (1, 0)$. Таким образом, $B(1, 0)$.

5. Найдем координаты вершины $D$. Точка $D$ симметрична $B$ относительно $O$:

$\vec{d} = 2\vec{o} - \vec{b} = 2(2, 3) - (1, 0) = (4, 6) - (1, 0) = (3, 6)$. Таким образом, $D(3, 6)$.

Итак, мы восстановили вершины ромба: $A(3, 2)$, $B(1, 0)$, $C(1, 4)$, $D(3, 6)$.

Ответ: Вершины ромба — точки с координатами $A(3, 2)$, $B(1, 0)$, $C(1, 4)$ и $D(3, 6)$.

б) Аналогично введем систему координат для второго рисунка. Координаты заданных точек: $O(2, 1)$, $E(3, 1)$ и $F(2, 3)$.

1. Вычислим вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = (2 - 3, 3 - 1) = (-1, 2)$.

2. Найдем координаты вершины $C$:

$\vec{c} = \vec{o} + \vec{EF} = (2, 1) + (-1, 2) = (1, 3)$. Таким образом, $C(1, 3)$.

3. Найдем координаты вершины $A$. Точка $A$ симметрична $C$ относительно $O$:

$\vec{a} = 2\vec{o} - \vec{c} = 2(2, 1) - (1, 3) = (4, 2) - (1, 3) = (3, -1)$. Таким образом, $A(3, -1)$.

4. Найдем координаты вершины $B$. Точка $B$ симметрична $C$ относительно $F$:

$\vec{b} = 2\vec{f} - \vec{c} = 2(2, 3) - (1, 3) = (4, 6) - (1, 3) = (3, 3)$. Таким образом, $B(3, 3)$.

5. Найдем координаты вершины $D$. Точка $D$ симметрична $B$ относительно $O$:

$\vec{d} = 2\vec{o} - \vec{b} = 2(2, 1) - (3, 3) = (4, 2) - (3, 3) = (1, -1)$. Таким образом, $D(1, -1)$.

Итак, мы восстановили вершины ромба: $A(3, -1)$, $B(3, 3)$, $C(1, 3)$, $D(1, -1)$.

Ответ: Вершины ромба — точки с координатами $A(3, -1)$, $B(3, 3)$, $C(1, 3)$ и $D(1, -1)$.