Номер 11, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба и, наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. Согласно свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

3. Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $DA$. Поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

5. Ключевое свойство прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны между собой: $AC = BD$.

6. Сравним длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$. Мы имеем $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Поскольку $AC = BD$, то и $KL = KN$.

7. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Таким образом, $KLMN$ — ромб, что и требовалось доказать.

Ответ: Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником.

1. Для начала докажем, что $KLMN$ является параллелограммом. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией, откуда $KL \parallel AC$. В треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, откуда $MN \parallel AC$. Таким образом, $KL \parallel MN$. Кроме того, $KL = MN = \frac{1}{2}AC$. Так как стороны $KL$ и $MN$ равны и параллельны, $KLMN$ — параллелограмм.

2. Теперь докажем, что у этого параллелограмма есть прямой угол. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, следовательно, $KN \parallel BD$.

3. Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

4. Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя пересекающимися прямыми ($KL$ и $KN$) равен углу между двумя другими прямыми ($AC$ и $BD$), которые им соответственно параллельны.

5. Так как $AC \perp BD$, угол между диагоналями ромба составляет $90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $KL$ и $KN$ также равен $90^\circ$, то есть $\angle NKL = 90^\circ$.

6. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.