Номер 9, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Диагонали четырехугольника равны $a$ и $b$. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение. Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ по условию равны $a$ и $b$ соответственно: $AC = a$, $BD = b$. Пусть точки $M$, $N$, $P$, $Q$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника $MNPQ$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна ее половине. Таким образом, $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$, значит, $PQ$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, поэтому является его средней линией. Следовательно, $NP = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

4. Наконец, в треугольнике $ABD$ отрезок $QM$ соединяет середины сторон $DA$ и $AB$ и является его средней линией. Следовательно, $QM = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

Четырехугольник, образованный серединами сторон исходного четырехугольника, известен как параллелограмм Вариньона. Его периметр $P_{MNPQ}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{MNPQ} = MN + NP + PQ + QM = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{MNPQ} = (\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) + (\frac{b}{2} + \frac{b}{2}) = a + b$

Таким образом, периметр искомого четырехугольника равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Ответ: $a+b$.