Номер 13, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном расстоянии от прямой, на которой лежит средняя линия этого треугольника (рис. 8.4).

Пусть дан треугольник $ABC$. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Возьмем, к примеру, среднюю линию $DE$, где точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Пусть прямая $l$ проходит через точки $D$ и $E$.

Нам необходимо доказать, что расстояния от вершин $A, B, C$ до прямой $l$ равны. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Опустим перпендикуляры из вершин $A, B$ и $C$ на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Таким образом, $AA_1 \perp l$, $BB_1 \perp l$ и $CC_1 \perp l$. Наша задача — доказать, что длины этих перпендикуляров равны: $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Доказательство:

1. Сравним расстояния от вершин $A$ и $C$ до прямой $l$, то есть длины отрезков $AA_1$ и $CC_1$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1D$ и $\triangle CC_1D$.

• Оба треугольника являются прямоугольными, поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — перпендикуляры к прямой $l$, а значит $\angle AA_1D = \angle CC_1D = 90^\circ$.
• Гипотенузы этих треугольников равны: $AD = CD$, так как по определению средней линии точка $D$ является серединой стороны $AC$.
• Углы $\angle A_1DA$ и $\angle C_1DC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $l$.

2. Сравним расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $l$, то есть длины отрезков $BB_1$ и $CC_1$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BB_1E$ и $\triangle CC_1E$.

• Оба треугольника являются прямоугольными, так как $\angle BB_1E = \angle CC_1E = 90^\circ$.
• Гипотенузы этих треугольников равны: $BE = CE$, так как по определению средней линии точка $E$ является серединой стороны $BC$.
• Углы $\angle B_1EB$ и $\angle C_1EC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $l$.

Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, имеем:$AA_1 = CC_1$ и $BB_1 = CC_1$.Отсюда следует, что $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Доказательство для двух других средних линий треугольника проводится аналогично. Следовательно, утверждение верно для любой средней линии треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины треугольника действительно находятся на равном расстоянии от прямой, на которой лежит любая из его средних линий.