Номер 8, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ как точки $K, L, M, N$ соответственно. Требуется доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника, которое гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

1. Проведем диагональ $AC$. Она разделяет исходный четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$ и $L$ — середина стороны $BC$, то отрезок $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $M$ — середина стороны $CD$ и $N$ — середина стороны $DA$, то отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

4. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем:

• $KL \parallel AC$ и $MN \parallel AC$. Поскольку две прямые параллельны третьей, они параллельны между собой. Значит, $KL \parallel MN$.
• $KL = \frac{1}{2}AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что $KL = MN$.

5. Мы установили, что в четырехугольнике $KLMN$ две противоположные стороны, $KL$ и $MN$, одновременно параллельны и равны. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Таким образом, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Это утверждение носит название теоремы Вариньона.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом. Это следует из того, что его противолежащие стороны являются средними линиями треугольников, на которые четырехугольник разбивается диагоналями, и, следовательно, эти стороны параллельны и равны половине соответствующей диагонали. Что и требовалось доказать.