Номер 14, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Как будет расположена прямая, равноудаленная от этих точек? Сколько существует таких прямых?

Пусть данные три точки, не лежащие на одной прямой, — это $A$, $B$ и $C$. Они образуют вершины треугольника $ABC$. Искомая прямая $l$ должна быть равноудалена от этих трех точек, то есть расстояния от точек $A$, $B$ и $C$ до прямой $l$ должны быть равны.

Рассмотрим возможные варианты расположения точек относительно прямой $l$.

1. Все три точки лежат по одну сторону от прямой $l$.
Если бы точки $A$, $B$ и $C$ были равноудалены от прямой $l$ и находились по одну сторону от нее, они должны были бы лежать на другой прямой, параллельной $l$. Это противоречит условию задачи, согласно которому точки не принадлежат одной прямой. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Две точки лежат по одну сторону от прямой $l$, а третья — по другую.
Допустим, точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от прямой $l$, а точка $C$ — по другую.

• Поскольку точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $l$ и лежат по одну сторону от нее, прямая $l$ должна быть параллельна отрезку $AB$.
• Поскольку точки $B$ и $C$ равноудалены от прямой $l$ и лежат по разные стороны от нее, прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $BC$.

Таким образом, искомая прямая $l$ должна быть параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$ и проходить через середину стороны $BC$. В геометрии известно, что прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией треугольника. Эта линия также проходит и через середину третьей стороны (в нашем случае, $AC$).

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других возможных комбинаций:

• Если точки $A$ и $C$ находятся по одну сторону, а $B$ по другую, то искомая прямая будет средней линией, параллельной стороне $AC$.
• Если точки $B$ и $C$ находятся по одну сторону, а $A$ по другую, то искомая прямая будет средней линией, параллельной стороне $BC$.

Все три средние линии треугольника $ABC$ удовлетворяют заданному условию.

Как будет расположена прямая, равноудаленная от этих точек?

Прямая, равноудаленная от трех точек, не лежащих на одной прямой, является одной из трех средних линий треугольника, вершинами которого служат эти точки. Каждая такая прямая проходит через середины двух сторон этого треугольника и, следовательно, параллельна его третьей стороне.
Ответ: Прямая будет являться одной из трех средних линий треугольника, образованного данными точками.

Сколько существует таких прямых?

Поскольку у любого треугольника существует ровно три стороны, то существует и ровно три средние линии, каждая из которых параллельна одной из сторон. Таким образом, существует ровно три прямые, равноудаленные от трех данных точек.
Ответ: Существует 3 такие прямые.