Номер 19, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Изобразите четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Может ли у такого четырехугольника быть:
а) три прямых угла;
б) три острых угла?

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Изобразим трапецию ABCD, у которой основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), а боковые стороны AB и CD не параллельны.

Ключевым свойством трапеции является то, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для нашей трапеции это означает, что сумма углов при боковой стороне AB равна $180^\circ$ и сумма углов при боковой стороне CD также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Рассмотрим поставленные вопросы, используя это свойство.

а) три прямых угла

Предположим, что у такой трапеции есть три прямых угла. Прямой угол равен $90^\circ$.

Пусть, например, углы A, B и D прямые: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$.

Рассмотрим пару углов при боковой стороне AB. Их сумма должна быть $180^\circ$. Если $\angle A = 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это соответствует нашему предположению.

Теперь рассмотрим пару углов при боковой стороне CD. Их сумма также должна быть $180^\circ$. Если $\angle D = 90^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Получается, что если у трапеции три угла прямые, то и четвертый угол обязательно будет прямым. Четырехугольник, у которого все четыре угла прямые, является прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны попарно параллельны. Это означает, что не только $BC \parallel AD$, но и $AB \parallel CD$.

Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что две другие стороны (в нашем случае боковые стороны AB и CD) не параллельны.

Следовательно, у такого четырехугольника не может быть трех прямых углов.

Ответ: нет, не может.

б) три острых угла

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Предположим, что у трапеции есть три острых угла. Как мы установили ранее, четыре угла трапеции можно разбить на две пары, сумма углов в каждой из которых равна $180^\circ$: ($\angle A$, $\angle B$) и ($\angle C$, $\angle D$).

Если у трапеции есть три острых угла, то по принципу Дирихле по крайней мере одна из этих пар должна состоять из двух острых углов. Допустим, это пара при боковой стороне AB, то есть и $\angle A$, и $\angle B$ — острые.

Это означает, что $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Тогда их сумма будет $\angle A + \angle B < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это противоречит свойству трапеции, согласно которому $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Таким образом, оба угла при одной боковой стороне не могут быть одновременно острыми. Аналогично, они не могут быть оба тупыми. В паре углов при боковой стороне один должен быть острым, а другой тупым (или оба прямыми).

Следовательно, в трапеции может быть не более двух острых углов (например, по одному у каждой боковой стороны: $\angle A$ и $\angle D$). Значит, три острых угла у такого четырехугольника быть не может.

Ответ: нет, не может.